2016届高考数学大一轮复习 第二章 11函数与方程课件 文

温馨提示:请点击相关栏目。整知识·萃取知识精华整方法·启迪发散思维考向分层突破一考向分层突破二考向分层突破三1．函数零点(1)定义:对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系结束放映返回导航页(3)存在性定理结束放映返回导航页2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)2,0)(x1,0)无交点零点个数两个零点一个零点无零点3.二分法:对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．结束放映返回导航页判断函数零点个数的常见方法(1)直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；(2)图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；（3)将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图象的交点个数．考点•分类整合结束放映返回导航页1．若x0是方程式2x＋x＝2的解，则x0属于区间()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)考向分层突破一：确定函数零点所在的区间解析：构造函数f(x)＝2x＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝2＋1－2＝1＞0，显然函数f(x)是单调函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0,1)上，所以2x＋x＝2的解在区间(0,1)上．答案：C结束放映返回导航页解析：由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．答案：C2．(2014•北京卷)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4，＋∞)6x又f(1)＝6－0＝60，f(2)＝3－1＝20，f(4)＝－log24＝－2＝－0，643212结束放映返回导航页确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)•f(b)0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．结束放映返回导航页考向分层突破二：求函数零点的个数解析：(1)当x≥0时，f(x)＝x2－3x，令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1.当x0时，－x0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)，∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x.(1)(2014•湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}C．{2－，1,3}D．{－2－，1,3}77令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，得x3＝－2－，x4＝－2＋0(舍)，∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合是{－2－，1,3}，故选D.777结束放映返回导航页(2)(2014•山东淄博期末)函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是________(2)函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数，即为函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1的图象，如图，由图可知函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是2.答案：2结束放映返回导航页跟踪练1．函数f(x)＝的零点个数为()A．3B．2C．7D．02x+x-2,x0-1+lnx,x0法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．答案：B解析：法一：由f(x)＝0得，解得x＝－2，或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．2x0x01+lnx=0x+x2=0或结束放映返回导航页解析：法一：由题意知f(x)的定义域为[0，＋∞)．又f(0)＝－10，f(1)＝120，所以f(x)＝在定义域内有唯一零点，选B.1x21x-()2跟踪练2．函数f(x)＝的零点个数为()A．0B．1C．2D．31x21x-()2其图象如图，由图象可知函数f(x)＝的零点个数为1.答案：B1x21x-()2法二：函数f(x)＝的零点个数，即为函数y＝与y＝图象交点的个数．1x21x-()212xx1()2因为y＝在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝在x∈[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝在x∈[0，＋∞)上单调递增，12x1x21x-()2x1()2结束放映返回导航页在判断函数y＝f(x)零点个数时，若方程f(x)＝0易解，则用解方程法求解；否则若可转化为两熟悉函数图象交点问题，用图象法求解，但图象画的太粗糙易出现失误；若图象不易画则可利用零点存在的判定定理及函数的性质综合求解．结束放映返回导航页例2：若函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，求实数a的取值范围．考向分层突破三：函数零点的应用解析：函数f(x)＝ax－x－a(a0且a≠1)有两个零点，即方程ax－x－a＝0有两个根，即函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象有两个交点．当0a1时，图象如图(1)所示，此时只有一个交点．当a1时，图象如图(2)所示，此时有两个交点．∴实数a的取值范围为(1，＋∞)．结束放映返回导航页同类练1．若函数f(x)＝ax＋x－2a(a0且a≠1)有两个零点，求实数a的取值范围．解析：函数f(x)＝ax＋x－2a(a0且a≠1)有两个零点，即方程ax＋x－2a＝0有两个根，即y＝ax2与函数y＝－x＋2a的图象有两个交点．当a1时，图象如图(2)所示，此时只有一个交点．当0a1时，图象如图(1)所示，则2a1，所以a1，12∴实数a的取值范围为1(,1)2结束放映返回导航页变式练2．若函数f(x)＝lnx－x－a有两个零点，则a的取值范围是________．解析：函数f(x)＝lnx－x－a的零点，即为关于x的方程lnx－x－a＝0的实根，将方程lnx－x－a＝0，化为方程lnx＝x＋a，令y1＝lnx，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝lnx相切时有a＝－1，所以关于x的方程lnx－x－a＝0有两个不同的实根，实数a的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)结束放映返回导航页解析：令x＝－1，则f(－1＋2)＝f(－1)－f(1)．又f(x)为定义域在R上的偶函数，所以f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为T＝2，又f(－x＋2)＝f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于x＝1对称，根据f(x)＝－2x2＋12x－18(x∈[2,3])作出f(x)与函数y＝loga(x＋1)(x0)的图象，则y＝f(x)－loga(|x|＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，也就是函数f(x)的图象与y＝loga(x＋1)(x0)至少有三个交点，拓展练3．(2014•江西师大附中月考)定义域为R的偶函数f(x)满足对任意x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当x∈[2,3]时，f(x)＝－2x2＋12x－18，若函数y＝f(x)－loga(|x|＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a的取值范围是()2356A.(0,)B.(0,)C.(0,)D.(0,)2356如图所示，解得0a.012log(21)aa则33结束放映返回导航页此类利用零点求参数的范围的问题，可利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了，这也体现了，当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解．归纳升华结束放映返回导航页