【创新设计】2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课件 第七章 第2讲 基本不等式及其应用

考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例1训练1例2训练2例3训练3第2讲基本不等式及其应用概要课堂小结结束放映返回目录第2页1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当a≥0，b≥0时，a＋b2≥ab.()(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的．()(3)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件．()夯基释疑结束放映返回目录第3页考点突破考点一利用基本不等式证明简单不等式例1已知x＞0，y＞0，z＞0.求证：yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8.证明∵x＞0，y＞0，z＞0，∴yx＋zx≥2yzx＞0，xy＋zy≥2xzy＞0，xz＋yz≥2xyz＞0，∴yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8yz·xz·xyxyz＝8.当且仅当x＝y＝z时等号成立．规律方法利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是：利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．结束放映返回目录第4页考点突破考点一利用基本不等式证明简单不等式训练1已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：1a＋1b＋1c≥9.证明∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．结束放映返回目录第5页【例题2】解下列问题：(共有4个小题)(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；考点突破考点二利用基本不等式求最值解析（1）法一∵a＞0，b＞0，4a＋b＝1，∴1＝4a＋b≥24ab＝4ab，当且仅当4a＝b＝12，即a＝18，b＝12时，等号成立．∴ab≤14，∴ab≤116.所以ab的最大值为116.法二∵a＞0，b＞0，4a＋b＝1，深度思考解决与基本不等式有关的最值问题，你学会“拼凑”了吗？(利用基本不等式求解最值问题，要根据代数式或函数解析式的特征灵活变形，凑积或和为常数的形式；条件最值问题要注意常数的代换，凑成基本不等式的形式求解最值．)≤144a＋b22＝116，当且仅当4a＝b＝12，即a＝18，b＝12时，等号成立．∴ab＝14·4a·b所以ab的最大值为116.结束放映返回目录第6页(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值；(3)已知x＜54，求f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值；考点突破考点二利用基本不等式求最值解（2）由x＋3y＝5xy得3x＋1y＝5，∴3x＋4y＝15(3x＋4y)3x＋1y＝15（13＋12yx＋3xy）≥15(13＋212yx·3xy)＝15(13+12)=5当且仅当12yx＝3xy，即x＝2y时，等号成立，此时由x＝2y，x＋3y＝5xy，解得x＝1，y＝12.(3)因为x＜54，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.凑积为常数结束放映返回目录第7页【例题2】(4)已知函数f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值．考点突破(4)∵f(x)＝4x＋ax≥24x·ax＝4a，考点二利用基本不等式求最值当且仅当4x＝ax，即4x2＝a时f(x)取得最小值．又∵x＝3，∴a＝4×32＝36.结束放映返回目录第8页考点突破规律方法(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．考点二利用基本不等式求最值结束放映返回目录第9页考点突破考点二利用基本不等式求最值(2)设0＜x＜52，则函数y＝4x(5－2x)的最大值为____．((3)见下页)解析(2)因为0＜x＜52，所以5－2x＞0，所以y＝4x(5－2x)＝2×2x(5－2x)≤22x＋5－2x22＝252，从而a的最小值为4，故选A.当且仅当2x＝5－2x，即x＝54时等号成立，故函数y＝4x(5－2x)的最大值为252.(1)因为x＞0，a＞0，所以x＋ax≥2a，要使x＋ax≥4在x∈(0，＋∞)上恒成立，则需2a≥4，所以a≥4，训练2(1)(2014·闽南四校联考)设a＞0,若关于x的不等式x＋ax≥4在x∈(0，＋∞)上恒成立，则a的最小值为()A．4B．2C．16D．1凑和为常数结束放映返回目录第10页考点突破训练2(3)设x＞－1，则函数y＝(x＋5)(x＋2)x＋1的最小值为_____．故函数y＝(x＋5)(x＋2)x＋1的最小值为9.考点二利用基本不等式求最值(3)因为x＞－1，所以x＋1＞0，所以y＝(x＋5)(x＋2)x＋1＝x2＋7x＋10x＋1＝（x＋1）2＋5（x＋1）＋4x＋1＝x＋1＋4x＋1＋5≥2（x＋1）×4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时等号成立，结束放映返回目录第11页考点突破考点三基本不等式的实际应用例3(2014·银川模拟)运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油2＋x2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解（1）设所用时间为t＝130x(h)，y＝130x×2×2＋x2360＋14×130x，x∈[50，100]．所以，这次行车总费用y关于x的表达式是(或y＝2340x＋1318x，x∈[50，100])．y＝130×18x＋2×130360x，x∈[50，100]．结束放映返回目录第12页考点突破考点三基本不等式的实际应用例3(2014·银川模拟)运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油2＋x2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解(2)y＝130×18x＋2×130360x≥2610，当且仅当130×18x＝2×130360x，即x＝1810时，等号成立．最低费用的值为2610元．故当x＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，结束放映返回目录第13页考点突破规律方法有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．考点三基本不等式的实际应用结束放映返回目录第14页考点突破解析设底面矩形的长和宽分别为am，bm，训练3(2014·福建卷)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A．80元B．120元C．160元D．240元则ab＝4(m2)．容器的总造价为20ab＋2(a＋b)×10考点三基本不等式的实际应用＝80＋20(a＋b)≥80＋40ab＝160(元)(当且仅当a＝b时等号成立)．结束放映返回目录第15页思想方法课堂小结1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤a＋b22≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a＞0，b＞0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．结束放映返回目录第16页易错防范课堂小结1．注意基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0，若a＜0，b＜0，应先转化为－a＞0，－b＞0，再运用基本不等式求解．2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．3．有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致．结束放映返回目录第17页（见教辅）