【创新设计】2016届 数学一轮课件人教A版 第五章 平面向量 专题探究课三角函数与平面向量问题中热

热点一三角函数的图象和性质热点二解三角形热点三三角函数、解三角形与平面向量的综合应用结束放映返回目录第2页热点突破注意对基本三角函数y=sinx，y=cosx的图像与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图像的平移、有图像求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝Acos(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解。热点一三角函数的图象和性质结束放映返回目录第3页例1(12分)(2015·济南名校联考)已知函数f(x)＝sinωx＋23cos2ωx2＋1－3(ω＞0)的周期为π.(1)求f(x)的解析式并求其单调递增区间；(2)将f(x)的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到函数h(x)的图象，若h(x)为奇函数，求φ的最小值．解(1)f(x)＝sinωx＋23cos2ωx2＋1－3＝sinωx＋23×1＋cosωx2＋1－3＝sinωx＋3cosωx＋1＝2sin(ωx＋π3)＋1.(3分)kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．(7分)热点突破热点一三角函数的图象和性质又函数f(x)的周期为π，因此2πω＝π，∴ω＝2.(4分)故f(x)＝2sin2x＋π3＋1.令2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)，即函数f(x)的单调递增区间为结束放映返回目录第4页解(2)由题意可知h(x)＝2sin2（x＋φ）＋π3，又h(x)为奇函数，则2φ＋π3＝kπ，∴φ＝kπ2－π6(k∈Z)．热点突破热点一三角函数的图象和性质∵φ＞0，∴当k＝1时，φ取最小值π3.(12分)例1(12分)(2015·济南名校联考)已知函数f(x)＝sinωx＋23cos2ωx2＋1－3(ω＞0)的周期为π.(1)求f(x)的解析式并求其单调递增区间；(2)将f(x)的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到函数h(x)的图象，若h(x)为奇函数，求φ的最小值．结束放映返回目录第5页热点突破热点一三角函数的图象和性质将f(x)化为asinωx＋bcosωx的形式；构造f(x)＝a2＋b2sinωx·aa2＋b2＋cosωx·ba2＋b2；利用三角恒等变换转换表达式为f(x)＝a2＋b2sin(ωx＋φ)的形式；令ωx＋φ∈－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)；第一步第二步第三步第四步第五步解得x的范围；下结论．第六步求三角函数单调递增区间的一般步骤：结束放映返回目录第6页热点突破热点一三角函数的图象和性质对于三角函数图象的左右平移变换问题，其平移变换规则是“左加右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx＋φ变换成ω（x＋），最后确定平移单位，并根据的符号确定平移方向。结束放映返回目录第7页【训练1】设函数f(x)＝32－3sin2ωx－sinωxcosωx(ω＞0)，且y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值．解析(1)f(x)＝32－3sin2ωx－sinωxcosωx＝32－3·1－cos2ωx2－12sin2ωx＝32cos2ωx－12sin2ωx＝－sin2ωx－π3.因为y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T＝4×π4＝π.又ω＞0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.xy14个周期注意此处是2ω而不是ω。思考为什么？热点突破热点一三角函数的图象和性质结束放映返回目录第8页解析(2)由(1)知f(x)＝－sin2x－π3.设t＝2x－π3，则函数f(x)可转化为y＝－sint.作出函数y＝sint在5π3，8π3上的图象，当π≤x≤3π2时，5π3≤t＝2x－π3≤8π3，如图所示，由图象可知，当t∈5π3，8π3时，xyO1【训练1】设函数f(x)＝32－3sin2ωx－sinωxcosωx(ω＞0)，且y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值．[隐藏]sint∈－32，1，故－1≤－sint≤32，因此－1≤f(x)＝－sin2x－π3≤32.故f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.热点突破热点一三角函数的图象和性质结束放映返回目录第9页高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主，其命题规律可以以下两方面看：（1）从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力。（2）从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题热点二解三角形热点突破结束放映返回目录第10页【例题2】(2014·辽宁卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.已知BA→·BC→＝2，cosB＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．热点二解三角形如何转化BA→·BC→＝2；条件：cosB＝13，b＝3的用途；向结论a和c的转化．一审二审三审解析(1)由BA→·BC→＝2得c·acosB＝2.又cosB＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，热点突破结束放映返回目录第11页【例题2】(2014·辽宁卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.已知BA→·BC→＝2，cosB＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．所以a2＋c2＝9＋2×6×13＝13.解ac＝6，a2＋c2＝13得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为a＞c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝1－132＝223.由正弦定理，得sinC＝cbsinB＝23·223＝429.所以C为锐角，因此cosC＝1－sin2C＝1－4292＝79.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC因为a＝b＞c，＝13×79＋223×429＝2327.热点二解三角形热点突破结束放映返回目录第12页三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差角公式的灵活运用是解决此类问题的关键．热点二解三角形热点突破结束放映返回目录第13页【训练2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2A－B2＋4sinAsinB＝2＋2.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面积为6,求边长c的值．解析(1)由已知得21－cos（A－B）＋4sinAsinB＝2＋2，化简得－2cosAcosB＋2sinAsinB＝2，故cos(A＋B)＝－22，所以A＋B＝3π4，从而C＝π4.(2)因为S△ABC＝12absinC，由S△ABC＝6，b＝4，C＝π4，得a＝32.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c＝10.热点二解三角形热点突破结束放映返回目录第14页热点突破热点三三角函数、解三角形与平面向量的综合应用三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现以下两个方面：（1）以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；（2）根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题。结束放映返回目录第15页【例题3】(2015·湖北七市(州)联考)已知向量m＝cosx2，－1，n＝3sinx2，cos2x2，设函数f(x)＝m·n＋1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2＋b2＝6abcosC，sin2C＝2sinAsinB，求f(C)的值．热点三三角函数、解三角形与平面向量的综合应用m·n的运算；函数f(x)的单调增区间的求解方法；条件：a2＋b2＝6abcosC，sin2C＝2sinAsinB的转化．(正、余弦定理的应用)；一审二审三审四审如何求角C热点突破结束放映返回目录第16页热点三三角函数、解三角形与平面向量的综合应用解析(1)f(x)＝3sinx2·cosx2－cos2x2＋1＝32sinx－12cosx＋12＝sinx－π6＋12.令2kπ－π2≤x－π6≤2kπ＋π2，2kπ－π3≤x≤2kπ＋2π3(k∈Z)，所以所求增区间为2kπ－π3，2kπ＋2π3(k∈Z)．【例题3】(2015·湖北七市(州)联考)已知向量m＝cosx2，－1，n＝3sinx2，cos2x2，设函数f(x)＝m·n＋1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2＋b2＝6abcosC，sin2C＝2sinAsinB，求f(C)的值．热点突破结束放映返回目录第17页热点三三角函数、解三角形与平面向量的综合应用解析(2)由a2＋b2＝6abcosC，sin2C＝2sinAsinB⇒c2＝2ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝6abcosC－2ab2ab即cosC＝12，又∵0＜C＜π，C＝π3，∴f(C)＝fπ3＝1.＝3cosC－1，【例题3】(2015·湖北七市(州)联考)已知向量m＝cosx2，－1，n＝3sinx2，cos2x2，设函数f(x)＝m·n＋1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2＋b2＝6abcosC，sin2C＝2sinAsinB，求f(C)的值．热点突破结束放映返回目录第18页热点三三角函数、解三角形与平面向量的综合应用(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．热点突破结束放映返回目录第19页解析(1)由题意知，f(x)＝2cos2x－3sin2x＝1＋cos2x－3sin2x训练3(2014·太原模拟)已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx,－3sin2x)，b＝(cosx，1)(x∈R)．(1)求f(x)的周期和单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，AB→·AC→＝3，求边长b和c的值(b＞c)．＝1＋2cos2x＋π3，∴f(x)的最小正周期T＝π，∵y＝cosx在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，热点三三角函数、解三角形与平面向量的综合应用∴令2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π，得kπ－π6≤x≤kπ＋π3.∴f(x)的单调递减区间为kπ－π6，kπ＋π3，k∈Z.热点突破结束放映返回目录第20页解析(2)∵f(A)＝1＋2cos2A＋π3＝－1，∴cos2A＋π3＝－1.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，又π3＜2A＋π3＜7π3，∴2A＋π3＝π.∴A＝π3.热点三三角函数、解三角形与平面向量的综合应用∵AB→·AC→＝3，即bc＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc，7＝(b＋c)2－18，b＋c＝5，又b＞c，∴b＝3，c＝2.训练3(2014·太原模拟)已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx,－3sin2x)，b＝(co