【步步高】2014高考数学二轮专题突破(文科)专题一 第1讲

本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲第1讲集合与常用逻辑用语【高考考情解读】1．本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2．试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲主干知识梳理1．集合的概念、关系与运算(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.(3)集合的运算：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(∁UA)＝A.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲主干知识梳理2．四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．4．简单的逻辑联结词(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲主干知识梳理(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．5．全称量词与存在量词“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破考点一集合间的关系及运算例1(1)(2012·课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10(2)设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．[－1,0]B．(－1,0)C．(－∞，－1)∪[0,1)D．(－∞，－1]∪(0,1)本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键．解析(1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的个数为10.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破(2)因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x20}＝{x|－1x1}，则u＝1－x2∈(0,1]，所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)．答案(1)D(2)D本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破(1)(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9(2)设全集U＝R，集合P＝{x|y＝ln(1＋x)}，集合Q＝{y|y＝x}，则右图中的阴影部分表示的集合为()A．{x|－1x≤0，x∈R}B．{x|－1x0，x∈R}C．{x|x0，x∈R}D．{x|x－1，x∈R}本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破解析(1)x－y∈－2，－1，0，1，2.(2)由1＋x0得x－1，即P＝{x|x－1}；Q＝{y|y≥0}，因此结合题意得，题中的阴影部分表示的集合是P∩(∁RQ)＝{x|－1x0，x∈R}．答案(1)C(2)B本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破考点二四种命题与充要条件例2(1)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c23B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c23C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3(2)设x，y∈R，则“x2＋y2≥9”是“x3且y≥3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破(1)从“否命题”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别．(2)结合图形与性质，从充要条件的判定方法入手．解析(1)命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以A正确．(2)如图：x2＋y2≥9表示以原点为圆心，3为半径的圆上及圆外的点，当x2＋y2≥9时，x3且y≥3并不一定成立，当x＝2，y＝3时，x2＋y2≥9，但x3且y≥3不成立；而x3且y≥3时，x2＋y2≥9一定成立，故选B.答案(1)A(2)B本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于．进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破(1)(2012·天津)设x∈R，则“x12”是“2x2＋x－10”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)给出以下三个命题：①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B；③在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是()A．①B．②C．③D．②③本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破解析(1)不等式2x2＋x－10的解集为xx12或x－1，故由x12⇒2x2＋x－10，但2x2＋x－10x12，故选A.(2)在△ABC中，由正弦定理得sinA＝sinB⇔a＝b⇔A＝B.故选B.答案(1)A(2)B本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破考点三逻辑联结词、全称量词和存在量词例3(1)(2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析(1)通过否定原命题得出结论．原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．B本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破(2)已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－12；命题q：若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)关于x＝1对称．则下列命题是真命题的是()A．p∧qB．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q)D．p∨q解析命题p：抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－18，所以命题p是假命题．命题q：将函数f(x＋1)的图象向右平移1个单位得到f(x)的图象，所以函数f(x)的图象关于x＝1对称，故命题q是真命题．所以p∨q为真．D本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破(1)全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论；而命题的真假可以先分清命题的构成，然后通过真值表直接判断．(2)若利用某些条件直接判定或探求有困难时，往往可以将条件进行等价转化．若是由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．綈p∧qC．p∧綈qD．綈p∧綈q(2)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．a≤－2或a＝1B．a≤2或1≤a≤2C．a1D．－2≤a≤1本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破解析(1)当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x3x，∴p：∀x∈R,2x3x是假命题．如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，∴q：∃x∈R，x3＝1－x2是真命题．∴p∧q为假命题，排除A.∵綈p为真命题，∴綈p∧q是真命题．选B.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破(2)命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q为真命题，即綈p真且q真，即a1.答案(1)B(2)C本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破1．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和韦恩图加以解决．2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲热点分类突破3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲押题精练1．已知集合A＝{z∈C|z＝1－2ai，a∈R}，B＝{z∈C||z|＝2}，则A∩B等于()A．{1＋3i,1－3i}B．{3－i}C．{1＋23i,1－23i}D．{1－3i}解析A∩B中的元素同时具有A，B的特征，问题等价于|1－2ai|＝2，a∈R，解得a＝±32.故选A.A本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1讲押题精练2．下列命题中正确的是()A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题B．“sinα＝12”是“α＝π6”的充分不必要条件C．l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥αD．命题“∀x∈R,2x0”的否定是“∃x0∈R,≤0”02x本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题一第1