第一章矩形的性质与判定-2-第一课时

第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定上册第1课时矩形的性质与判定（一）课前预习1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分2.如图S1-2-1，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列结论不正确的是（）A.AC⊥BDB.AC=BDC.BO=DOD.AO=COCA课前预习3.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A.对角线相等B.两组对边分别平行C.对角线互相平分D.两组对角分别相等4.如图S1-2-2，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A.10cmB.8cmC.6cmD.5cmAD课堂讲练新知1矩形的性质典型例题【例1】如图S1-2-3，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠ACD=30°，AD=2.（1）判断△AOD的形状；（2）求对角线AC的长.课堂讲练解:（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC=90°，OA=OD=OC=OB.∵∠ACD=30°，∴∠DAC=90°-30°=60°.而OA=OD，∴△AOD为等边三角形.（2）∵△AOD为等边三角形，∴AO=AD=2.∴AC=2AO=4.课堂讲练【例2】如图S1-2-5，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，对角线AC,BD相交于点O，过点D作DE∥AC交BC延长线于点E.求证：BD=DE.解：（1）如图，在矩形ABCD中，AC=BD，AD∥BC，且AD=BC.∴AD∥CE.∵DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE=AC.∴BD=DE.课堂讲练模拟演练1.如图S1-2-4，已知矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BOC=120°，AC=4cm，求矩形ABCD的周长.（结果保留根号）课堂讲练解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AD=BC，∠ABC=90°，OA=OB=AC=2cm.∵∠BOC=120°，∴∠AOB=60°.∴△AOB是等边三角形.∴AB=OA=2cm.∴∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=4+（cm）.课堂讲练2.如图S1-2-6，矩形ABCD中，AC,BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数.课堂讲练解：∵AE平分∠BAD交BC于E，∴∠AEB=∠DAE=∠BAE=45°，AB=BE.∵∠CAE=15°，∴∠ACB=∠AEB-∠CAE=45°-15°=30°.∴∠BAO=60°.又∵OA=OB，∴△BOA是等边三角形.∴OA=OB=AB，即OB=AB=BE.∴△BOE是等腰三角形，且∠OBE=∠OCB=30°.∴∠BOE=（180°-30°）=75°.课堂讲练新知2与矩形性质有关的推论典型例题【例3】如图S1-2-7，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，AB=3，AD=，则OB等于（）A.4B.3C.2D.1C课堂讲练【例4】如图S1-2-9所示，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠1=∠2，OB=6.（1）求∠BOC的度数；（2）求△DOC的周长.课堂讲练解：（1）∵四边形ABCD为矩形，AE⊥BD，∴∠1+∠ABO=∠2+∠AOB=90°,OA=OB.∴∠ABO=∠AOB.∴AB=OA=OB.∴∠AOB=60°.∴∠BOC=120°.（2）∵△DOC≌△AOB，∴△DOC为等边三角形.∴OD=OC=CD=OB=6.∴△DOC的周长=3×6=18.课堂讲练模拟演练3.如图S1-2-8，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，则OE的长为.1课堂讲练4.如图S1-2-10，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB,CD上的点，AE=CF，连接EF,BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC.（1）求证：OE=OF；（2）若BC=，求AB的长.课堂讲练（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC=∠FCO.在△AOE和△COF中，∠BAC=∠FCO,∠AOE=∠COF,AE=CF，∴△AOE≌△COF（AAS）.∴OE=OF.课堂讲练（2）解：如答图S1-2-1，连接OB，∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF.∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°.由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知OA=OB=OC，∴∠BAC=∠ABO.又∵∠BEF=2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC=90°，解得∠BAC=30°.∵BC=，∴AC=2BC=.∴课后作业夯实基础新知1矩形的性质1.如图S1-2-11，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A.4B.8C.10D.12B课后作业2.如图S1-2-12，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=23，DE=2，则四边形OCED的面积（）A.B.4C.D.8A课后作业3.如图S1-2-13，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（）A.2B.3C.D.4A课后作业4.如图S1-2-14，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，CF⊥BE，垂足为点F，若BF=EF，AE=1，则AB边的长为（）A.1B.C.D.2C课后作业新知2与矩形性质有关的推论5.如图S1-2-15，已知在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO=BO，AD=3，AB=2，则四边形ABCD的面积为（）A.4B.5C.6D.7C课后作业6.如图S1-2-16ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，且OA=OB，若AD=4，∠AOD=60°，则AB的长为（）A.B.C.8D.A课后作业7.如图S1-2-17所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，BD=BC，∠C=60°，如果△DBC的周长为m，则AD的长为（）B课后作业能力提升8.如图S1-2-18，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE.证明：DF=DC.课后作业证明：∵DF⊥AE于F，∴∠DFE=90°.在矩形ABCD中，∠C=90°，∴∠DFE=∠C.在矩形ABCD中，AD∥BC.∴∠ADE=∠DEC.∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED.∴∠AED=∠DEC，∠DFE=∠C=90°.又∵DE=DE，∴△DFE≌△DCE（AAS）.∴DF=DC.课后作业9.如图S1-2-19，把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处，BF交AD于点E.（1）求证：△BEA≌△DEF；（2）若AB=2，AD=4，求AE的长.课后作业（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=90°.∵把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处，BF交AD于点E，∴DF=CD，∠F=∠C=90°.∴AB=FD，∠A=∠F.在△BEA和△DEF中∠AEB=∠FED,∠A=∠F,AB=FD,∴△BEA≌△DEF（AAS）.（2）解：∵△BEA≌△DEF，∴BE=DE=AD-AE=4-AE.在Rt△BAE中，由勾股定理得AB2+AE2=BE2，∴22+AE2=（4-AE）2.解得AE=.