一元二次不等式及其解法(例题分类)

1一对一个性化辅导教案课题一元二次不等式及其解法教学重点一元二次不等式及其解法教学难点一元二次不等式及其解法教学目标掌握二元一次不等式与线性规划的基本知识及方法技巧教学步骤及教学内容一、课前热身1.检查作业2.了解学生本周学习情况3.告知本节课内容，准备上课二、内容讲解三．课堂小结四、作业布置管理人员签字：日期：年月日2一元二次不等式及其解法【要点梳理】要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：250xx.一元二次不等式的一般形式：20axbxc(0)a或20axbxc(0)a.设一元二次方程20(0)axbxca的两根为12xx、且12xx，则不等式20axbxc的解集为21xxxxx或，不等式20axbxc的解集为21xxxx要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a成立.要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系对于一元二次方程20(0)axbxca的两根为12xx、且12xx，设acb42，它的解按照0，0，0可分三种情况，相应地，二次函数2yaxbxc(0)a的图像与x轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20axbxc(0)a或20axbxc(0)a的解集.24bac000二次函数cbxaxy2（0a）的图象20(0)axbxca的根有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R3的解集)0(02acbxax21xxxx要点诠释：（1）一元二次方程20(0)axbxca的两根12xx、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线ycbxax2与x轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0三种情况，得到一元二次不等式20axbxc与20axbxc的解集.要点三、解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；（2）写出相应的方程20axbxc(0)a，计算判别式：①0时，求出两根12xx、，且12xx（注意灵活运用因式分解和配方法）；②0时，求根abxx221；③0时，方程无解（3）根据不等式，写出解集.用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的过程要点诠释：开始结束将原不等式化成一般形式ax2+bx+c0(a0)Δ=b2-4ac求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2方程ax2+bx+c=0没有实数根原不等式解集为R原不等式解集为}a2bx|x{原不等式解集为{x|xx1,或xx2}(x1x2)Δ≥0?x1=x2?否是是否41．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.【典型例题】类型一：一元二次不等式的解法例1.解下列一元二次不等式（1）250xx；（2）2440xx；（3）2450xx举一反三：【变式1】已知函数222,0,()2,0xxxfxxxx解不等式f(x)＞3.类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法例2．解关于x的不等式：ax2-x+10【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；5③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论.举一反三：【变式1】解关于x的不等式：)0(01)1(2axaax【变式2】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．.例3．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0.举一反三：【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；6【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-10；类型三：一元二次不等式的逆向运用例4.不等式20xmxn的解集为(4,5)x，求关于x的不等式210nxmx的解集.举一反三：【变式1】不等式ax2+bx+120的解集为{x|-3x2}，则a=_______,b=________.【变式2】已知220axxc的解为1132x,试求a、c,并解不等式220cxxa.7【变式3】已知关于x的不等式20xaxb的解集为(1,2)，求关于x的不等式210bxax的解集.类型四：不等式的恒成立问题例5．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.举一反三：【变式1】若关于x的不等式2(21)10mxmxm的解集为空集，求m的取值范围.【变式2】已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．