北理工_理论物理导论_作业2

6.为什么把微观粒子的波动性叫物质波或几率波？解：以电子这种微观客体为例：在电子束衍射实验中，电子的粒子性是得通过圆孔的每一个电子只在感光板上形成一个感光点，而不会形成整个衍射条纹。当通过圆孔的电子束流量很大时短时间内有大量电子打在板的各个位置上，板上的衍射条纹说明亮环处感光点密度大，暗环出感光点密度小。当电子单个单个地通过圆孔时感光板记录下一个一个感光点。电子数还较少时，感光点分布杂乱无章，每个电子出现在板上的位置随机、无分布规律，无衍射条纹。但是若实验进行足够长时间，电子虽然逐个通过圆孔，也能使通过圆孔的总电子数足够大，感光点也足够多。这相当于以同一个电子进行大量的重复实验。这时，大量的感光点就显示出环形衍射条纹分布，而且分布图形与短时间大流量电子书形成的衍射条纹完全相同。这两种电子流量实验表明，就一个电子而言，电子究竟出现在什么地方是随机的、无法预言，但相同条件下的大量电子，或同一电子在相同条件下的大量重复行为是有规律的、服从几率统计，即在明条纹处电子出现的几率取极大值，而在暗条纹处，电子出现的几率取极小值。综上，微观粒子的波动性与经典波的波动性不同，它服从几率统计规律。7.微观粒子的波粒二象性等于经典粒子性加经典波动性吗？解：微观粒子的波粒二象性不等于经典粒子性加经典波动性。微观粒子的波粒二象性是指微观粒子同时具有波动性和粒子性。这种波动性和粒子性既不同于经典波的性质，又不同于经典粒子的性质。电子作为微观客体，有它自己的本性,简单来说就是波粒二象性。它并不是经典意义下的粒子，只不过是物质相互作用时呈现出粒子性；它也不是经典意义下的波，只不过是在传播过程中具有干涉、衍射这类波的性质。10.求解薛定谔方程的过程中，微观粒子的能量取量子化值的结论是人为规定的吗？解：能量量子化的结论是求解定态薛定谔方程的过程中自然而然得到的。在一维势场：),0()0(0)(axxaxxU中，用定态薛定谔方程求解波函数。把0)(xU代入定态薛定谔方程，并令222kE得：)0(0222axkdxd此二阶常微分方程的一般解为：)0(cossin)(axkxBkxAx必须满足标准条件中的连续性条件，那么由00||xx外内可知0B，由axax||外内可知0sinkaA。此时若0A，将得到0)(x的不合理解，所以应该使k值量子化：),2,1(nankn，又由222kE知，能量也是量子化的。14.一维运动的粒子处于)0(0)0()(xxAxexx的状态，式中0，求（1）归一化因子A；（2）粒子的几率密度；（3）粒子出现在何处的几率最大？解：（1）由波函数的归一化条件：1),(),(dtrtr可得：1)()(dxxx（Ⅰ）将)(x代入方程（Ⅰ）中得：12022dxexAx采用分部积分法求得232A（2）已知)()()(xxxP，)0(0)0()(xxAxexx，那么：)0(0)0(4)(223xxexxPx（3）当0x时，令：0)22(4)(2223xxexxedxxdP解得：10xx或。当0x时：0)0(P，显然此处几率密度最小；当1x时：24)1(eP，显然此处几率密度最大，则1x为题目所求。15.一维线性谐振子处于状态tixAetx212122),(（1）求归一化因子A；（2）求谐振子坐标x的平均值；（3）求写振子势能的平均值。解：（1）由波函数的归一化条件：1),(),(dtrtr可得：1),(),(dxtxtx（Ⅰ）将),(rr代入方程（Ⅰ）中得：1222dxeAx求得A。（2）已知：dxtxtxxx),(),(（Ⅱ）tixetx212122),(（Ⅲ）那么：dxxexx22其中22xxe是关于x的奇函数，而积分区间关于0x对称，由这两个条件易知，0x。（3）已知谐振子势能22)(222xkxxU，那么谐振子势能平均值：222242),(),()()(22dxexadxtxtxxUxUx又有：21则：24)(0ExU是总能量的一半。17.带电荷q的一维谐振子在外电场E作用下运动，qExxxU2)(22，试证明粒子的能量和波函数分别为21121222),()(2)21(212qExxxHeNxEqnEnxnnn解：根据本题所列的定态薛定谔方程为：)()()2(222222xExqExxdxd（Ⅰ）变换方程（Ⅰ）得：)()(2)()2(222224222222222xExEqxEqqExxdxd（Ⅱ）化简方程（Ⅱ）得：)()2()()(22222222222xEqExqExdxd（Ⅲ）令：222'212,EqEEqExx则方程（Ⅲ）化为标准的一维谐振子方程：)()(22'212222xExxdxd（Ⅳ）方程（Ⅳ）的解为：)()(1211212xHeNxnxnn)21('nEn即：21121222),()(2)21(212qExxxHeNxEqnEnxnnn