信息光学计算

1.采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径:求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布。220000,txycircxy解：(1)设入射光场为U0(x0，y0)，由题意，知U0(x0，y0)=1。圆形孔径的透射率函数为：t(x0，y0)=。。。则孔径平面透射光场分布为：U(x0，y0)=t(x0，y0)=。。。由菲涅耳衍射公式可得衍射光场为：令：x=y=0时，得到衍射图样在轴上的复振幅为：将积分换用极坐标系作运算，得轴上复振幅分布为：则孔径轴上强度分布为：由上式可知，圆孔菲涅耳衍射图样其中心光强沿孔径轴是明暗交替变换的，而且：当，即时，I(0,0)=0,为极小值；当，即时，I(0,0)=4,为极小值。222200002222000022200002222200001,,1,kkkixyixyixxyyikzzzzkkkixyixyixxyyikzzzzUxyeeUxyeedxdyizeecircxyeedxdyiz220022200000,0kikzixyzeUcircxyedxdyiz2212200/4/4/4/410,0|12sin4kkiriikzikzzzZikzikzikzikzikzikzUederdreeizkeeeeieez2220,0|0,0|4sin4sin42ZZkIUzz1,2,3,...2nnz12zn10,1,2,3,...22nnz121zn2.余弦型振幅光栅的复振幅透过率为：t(x)=a+bcos(2πx/d)，式中，d为光栅的周期，ab0。观察平面与光栅相距z。当z分别取下述值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。式中：zT=2d2/λ为泰伯距离。（1）z=zT=2d2/λ（2）z=zT/2=d2/λ解：光栅与相距为z的观察平面上的光场分布，这是一个典型的菲涅耳衍射的问题。可以在频域来求解这个问题。当单色平面波垂直照明光栅时，光栅透射光场为：U(x0)=At(x0)=A[a+bcos(2πx0/d)]，式中：A为平面波振幅。该透射光场对应的空间频谱为：，根据菲涅耳衍射的传递函数式：可得到观察平面上的光场的频谱为：下面分两种情况进行讨论：(1)：当z=zT=2d2/λ时，e-iπλz/d2=1，则有：对上式作傅里叶逆变换，可得到观察平面上的光场复振幅分布为：强度分布为：从上式可以看出，强度分布与光栅透射场分布相同。(2)当z=zT/2=d2/λ时，e-iπλz/d2=-1，则有：对上式作傅里叶逆变换，可得到观察平面上的光场复振幅分布为：强度分布为：强度分布与光栅透射场分布相比，像产生π相移。1122bbFAadd2izikzHee22/11221122izikzikzikzdbbGHFHAaeeddbbAeaedd1122ikzbbGAeaddcos2/ikzUxAabxde22cos2/IxAabxd1122ikzbbGAeaddcos2/ikzUxAabxde22cos2/IxAabxd3.环形孔径的外径为2a，内径为2εa(0ε1)。其透射率可以表示为：用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为z的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强度分布。解：采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，则孔径平面的透射光场为：可以进一步表示为两个圆域函数的差值，即：其傅里叶-贝塞尔变换式为：式中：ρ=r/λz。把上式代入夫琅禾费衍射公式，则得到孔径的夫琅禾费衍射光场分布为：这样，可得到圆环夫琅禾费衍射的强度分布为：001,0,aratr其他0001,r=0,araUtr其他000r=circcircrrUaa1100022=BcirccircaJaaJarrBUraa2211211222zkikzirzkirikzzaJaaJaeUreirrJkaJkazziaeer2211arrIrJkaJkarzz4.线光栅的缝宽为a,光栅常数为d,光栅整体孔径是边长L的正方形。试对下述条件，分别确定a和d之间的关系：(1)光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。(2)光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。解：许多等宽度的狭缝等间隔地平行排列，是最简单的透射型振幅光栅，称为线光栅。先不考虑光栅的有限大小，认为光栅是由无穷多个平行狭缝构成的。每条狭缝的宽度均为a，相邻缝中心距，即光栅常栅为d，da。光栅透过率可以表示为一维卷积形式：采用单位振幅的单色平面波垂直照射衍光栅，则透射光场等于光栅的复振幅透过率:U(x0,y0)=t(x0,y0)，其对应的傅里叶变换式为：把上式代入夫琅禾费衍射公式，得到夫琅禾费衍射图样的复振幅分布为：0000001,*xxxytxyrectcombrectrectaddLL2000000221,*sin*sinsinsin*sinsinsinsinnnxxxyFUxFrectcombrectrectacacombdLcLcLaddLLaamnaLamncLcLcLccLddddddsincL2222200,22,zsinsinsinzkixyikzzxyzzkixyikzzneeUFUxiaLeeamxnyccLcLidddzx,y强度分布为：上式就是光栅的夫琅禾费衍射图样。当单缝衍射的零点位置与某些衍射级重合时，这些衍射级就会消失。(1)若夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级(见左下图)，则要求：2n/d=n/a(n=1,2,...)，即d=2a(2)若夫琅禾费衍射图样中第三级极小(见右下图)，则要求3/d=1/a，即d=3a2222sinsinsinnaLamxnLyIccLczddddzx,y5.在透明玻璃板上有大量(N)无规则分布的不透明小圆颗粒,它们的半径都是a。采用单位振幅的单色平面波垂直照明,求相距为z的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。解：有N个无规则分布的不透明圆颗粒的透明玻璃板与这些不透明圆颗粒位置有N个透明圆孔的不透明玻璃板是互补屏。因此，可通过求解N个无规则透明圆孔的不透明玻璃板的衍射图样强度分布间接求解。有N个无规则透明圆孔的不透明玻璃的复振幅透过率函数可以表示为：式中xn’,yn’是各个小圆孔的中心位置。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，玻璃板透射的光场分布为：U(x0，y0)=t(x0，y0)=...对上式作傅里叶变换，有：''222222212200,2212+y,z+ynnkixyzkxxyyixyikziNzzzikzxyzznaxJzeeUFUxiaeeeixx,y将上式代入夫琅禾费衍射公式，则得到观察平面上夫琅禾费衍射图样的复振幅分布为：22N00''0001*nnnxytcircxxyya0x,y，22''''22N00''00001,+y22122122112+y2+ynnnnnnxynxrzzzzxxyyiNNixyzznnxyFUBcircFxxyyaaxJzJaaeazexx,y，强度分布为：''222222222112222221'''''',1(ij)2+y2+y,,+y+y2cos2cos22sin2nnxxyyiNzznNjjiiiiijaxaxaJaJzzIxyUxyeNxxxxyyxxyyxxyyzzzzzz'',1(ij)22221''''22,1(ij)sin22+y2cos2+yNjjijNijijijxxyyzzaxaJzxxxxyyyyNxzz因为N个孔径无规则排列，所以有：'''',1(ij)2cos20Nijijijxxxxyyyyzz这样，强度分布最终简化为：22221222+y,+yaxNaJzIxyx所以，N个无规则分布的小孔，其衍射图样简单的就是单个小孔衍射强度的N倍。N个无规则分布的不透明圆颗粒的透明玻璃板的透过率表示为[1-t(x0,y0)]，其傅里叶谱为：0000,1,,,xyzzFtxyFtxy根据巴比涅原理，衍射图样的强度分布除中心有一个亮点外，其余部分强度分布应该与上式所表达的I(x,y)相同。,xyzz6.一个衍射屏具有下述圆对称的复振幅透过率函数(见下图)(1)这个屏的作用类似于透镜，为什么？(2)给出此屏的焦距表达式？(3)这种屏作成像元件它会受到什么性质的限制(特别对于多色物体成像)？解：(1)此衍射屏的复振幅透过率如图所示，可把它表示为如下直角坐标形式：式中，中括号内的第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数项与透镜相位变换因子：比较，形式相同。当用平面波垂直照射200011cos2rtrarcircl22214kixyfe2214iaxye2214iaxye22222211,2414iaxyiaxytxyexyecircl(2)把衍射屏复振幅透过率中的复指数项与透镜的相位变换因子相比较，便得相应的焦距，即对于项，令a=k/(2f1)，则有f1=k/2a=π/λa0，焦距为正，相当于会聚透镜。对于项，令a=-k/(2f2)，则有f2=-k/2a=-π/λa0，焦距为负，相当于发散透镜。对于1/2项，平行光直接透过，仅振幅衰减，相当于一个振幅衰减片，可视为f3=∞。(3)由于该衍射屏有三重焦距,当用作成像装置时,便可以对同一物体形成三个像。例如对无穷远的点光源,将分别在屏的两侧