19第四章 频率特性分析

第四章第四章频率特性分析频率特性分析基本要求1.掌握频率特性的定义和代数表示法以及与传递函数、单位脉冲响应函数和微分方程之间的相互关系；掌握频率特性和频率响应的求法。2.掌握频率特性的奈氏图和Bode图的组成原理，熟悉典型环节的奈氏图和Bode图的特点及其绘制，掌握一般系统的奈氏图和Bode图的特点和绘制。3.掌握频域中性能指标的定义和求法；了解频域性能指标与系统性能的关系。4.了解昀小相位系统和非昀小相位系统的概念。本章重点1.频率特性基本概念、代数表示法及其特点。2.频率特性的图示法的原理、典型环节的图示法及其特点和一般系统频率特性的两种图形的绘制。3.频域中的性能指标。本章难点1.一般系统频率特性图的画法以及对图形的分析。2.频域性能指标和时域性能指标之间的基本关系。(2)输出响应中振幅和相位差都是输入信号频率ω的非线性函数，表示为Xitxi)(4.1频率特性的基本概念4.1.1频率响应与频率特性1.频率响应:线性定常系统对正弦信号(谐波输入)的稳态响应称为频率响应。Xotx)(oφtXtxiiωsin)(=)(otx设输入，响应的特点(1)输出与输入为同频率的谐波信号；))((sin)()(oo一个稳定的线性定常系统，在谐波函数作用下，其输出的稳态分量（频率响应）也是一个谐波函数，而且其角频率与输入信号的角频率相同，但振幅和相位则一般不同于输入信号的振幅与相位，而随着角频率的改变而改变。ωϕωω+=tXtx2.幅频特性∶输出信号与输入信号的幅值之比随ω变化的特性。iXXA)()(oωω=3.相频特性:输出信号与输入信号的相位差(或相移)随ω变化的特性。4.频率特性:通常将幅频特性和相频特性统称为频率特性。)()(ωϕωjeA0)(ωϕ)(ωϕ按逆时针方向旋转为正值，表超前；(1))(ωϕ按顺时针方向旋转为负值，表滞后。0)(ωϕ(2)4.1.2频率特性的求法1.用拉氏逆变换求取tXtxiiωsin)(=22]sin[)]([)(ωωω+===sXtXLtxLsXiiii22o)()(ωω+=sXsGsXi])([)(221oωω+=−sXsGLtxi根据频率特性的定义即可求出其幅频特性和相频特性。2.令s=jωωj)()(ωjGsG⇒)(ωjG就是系统的频率特性。(1)幅频特性：将传递函数中的s用代替，,)()()(oωωωjGXXAi==(2)相频特性:)()(ωωϕjG∠=)()()](Im[)](Re[)(ωνωμωωωjjGjGjG+=+=⎪⎩⎪⎨⎧=+=)()()()()()(22ωωωϕωωωuvarctgvujG(3)实频特性:(4)虚频特性:)(ωu)(ωv][[s]ωj⇒3.用试验方法求取根据频率特性的定义，首先，改变输入谐波信号的频率ω，并测出与此相应的稳态输出的幅值与相移。然后，作出幅值比对频率ω的函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相移对频率ω的函数曲线，此即相频特性曲线。昀后，对以上曲线进行辨识即可得到系统的频率特性。tjiexω)(ωoX)(ωϕioXX/)(ω)(ωϕ10-1100101-40-2002010-1100101-90-1800ξ=0.1ξ=0.11．频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的Fourier变换。即。2．频率特性分析通过分析不同的谐波输入时的稳态响应，揭示系统的动态特性。3．频率特性分析主要针对系统的稳态响应而言，应用频率特性的概念可以非常容易求系统在谐波输入作用下系统的稳态响应。另外，系统频率特性在研究系统的结构与参数对系统性能的影响时，比较容易。4．频率特性分析在实验建模和复杂系统分析方面的应用要比时域分析法更方便。5.微分方程、传函、频率特性的关系如图。)]([)(twFjG=4.1.3频率特性的物理意义ω微分方程频率特性jωsspjωp系统传递函数4.2典型环节的频率特性4.2.1频率特性图概述1.奈奎斯特图：在平面上取Re及Im轴，以ω作参变量，当ω从0→∞变化时,端点的轨迹为频率特性的极坐标图，称为Nyquist图。)]([ωjG)(ωjGu(ω)jv(ω)ϕω()A(ω)u(ω)v(ω)ωImReG()jω[]ω=ω1G()jωω=0ω∞=2.Bode图：以ω的常用对数值为横坐标，分别以和为纵坐标画出的曲线，称为对数幅频特性图和对数相频特性图，统称为频率特性的对数坐标图，又称为Bode图。)(lg20ωA)(ωϕ(1)纵坐标单位为分贝，线性分度)(lg20dB1ωjG=0.100.100-450-900dB)(Aω=20)j(Glgω110102ω4020-40-20)(ωϕ=∠)(Aω110102ω900450(2)横坐标单位为rad/s或1/s，对数分度。(3)10倍频程(dec)：若ω2=10ω1，则称从ω1到ω2为10倍频程。每10倍频程对数差1。但习惯上仍标真数值，即横坐标按10倍频程均匀分度。4.2.2典型环节的频率特性图1.比例环节ImRe()K,j0G(jω)[]奈氏图KsG=)(传递函数：K)(=ωjG频率特性：0)(=∠ωjG相频特性：K)(=ωu实频特性：0)(=ωv虚频特性：KjGLlg20)(lg20)(==ωω对数幅频特性：幅频特性：KjGA==)()(ωωBode图ωdBω0.11100.1110s-1s-1())(20lgK002.积分环节ssG1)(=传递函数：ωωω11)(jjjG−==频率特性：o09)(−=∠ωjG相频特性：0)(=ωu实频特性：ωω1)(−=v虚频特性：ωωωlg20)(lg20)(−==jGL对数幅频特性：幅频特性：ωωω1)()(==jGA奈氏图ImReG(jω)[]ω-90(),0jω1-Bode图ωdB20400.1110ω9018090180--20lgGG[-20]3.微分环节ssG=)(传递函数：ωωjjG=)(频率特性：o09)(=∠ωjG相频特性：0)(=ωu实频特性：ωω=)(v虚频特性：ωωωlg20)(lg20)(==jGL对数幅频特性：幅频特性：ωωω==)()(jGA奈氏图ImReG(jω)[]ω(),0jω90Bode图9018090-ωs-1)(GdB200.1110(ωs-1)20lgG-20[20]4.惯性环节11)(+=TssG传递函数：221)1(11)(ωωωωTjTjTjG+−=+=频率特性：)(arg)(ωωTtgjG−=∠相频特性：2211)(ωωTu+=实频特性：221)(ωωωTTv+−=虚频特性：2)(1lg20)(lg20)(ωωωTjGL+−==对数幅频特性：幅频特性：2211)()(ωωωTjGA+==奈氏图ImReG()[jω]ωKK2Bode图dBωs-1()G-20-4090-45-ωs-1()Tω[-20]5.一阶微分环节1)(+=TssG传递函数：ωωjTjG+=1)(频率特性：)(arg)(ωωTtgjG=∠相频特性：1)(=ωu实频特性：ωωTv=)(虚频特性：2)(1lg20)(lg20)(ωωωTjGL+==对数幅频特性：幅频特性：221)()(ωωωTjGA+==奈氏图ImReG(jω)[]ω-1ωTtg1Bode图dBωs-1()20lgGG204090450Tω1020dBdecTωωs-1()6.振荡环节ωξωωTjTjG2)(11)(22+−=频率特性：2212arg)(ωωξωTTtgjG−−=∠相频特性：222222)(2)(11)(ωξωωωTTTu+−−=实频特性：222222)(2)(11)(ωξωωωTTTv+−−=虚频特性：2222)(2)(1lg20)(ωξωωTTL+−−=对数幅频特性：幅频特性：2222)(2)1(1)()(ωξωωωTTjGA+−==传递函数：121)(22++=TssTsGξ-1-0.500.511.5-2-1.5-1-0.500.5ReImnω0=ω3.0=ξ5.0=ξ7.0=ξ2=ξ1=ξ－ξ21=ω∞奈氏图10-1100101-40-2002010-1100101-90-1800ξ=0.1ξ=0.3ξ=0.7ξ=0.1ξ=0.7ξ=0.3Bode图[-40]7.二阶微分环节ωξωωTjTjG2)(1)(22+−=频率特性：2212arg)(ωωξωTTtgjG−=∠相频特性：221)(ωωTu−=实频特性：ωξωTv2)(=虚频特性：2222)(2)(1lg20)(ωξωωTTL+−=对数幅频特性：幅频特性：2222)(2)1()()(ωξωωωTTjGA+−==传递函数：12)(22++=TssTsGξ8.延时环节τωτωωτωsincos)(jejGj−==−频率特性：τωω−=∠)(jG相频特性：τωωcos)(=u实频特性：τωωsin)(−=v虚频特性：0)(=ωL对数幅频特性：幅频特性：1)()(==ωωjGA传递函数：sesGτ−=)(ImωRe很小[G(jω)]1奈氏图ωs-1)(G110100-204060--Bode图ωdB20400.111020lgG4.3系统的频率特性4.3.1绘制系统奈氏图1.奈氏图的一般形状∏∏−==++==λλτnjjmiiisTssKsXsXsG11o1)()1()()()(∏∏−==++=λλωωωτωnjjmiijTjjKjG11)(1)()(1)(频率特性（标准形式）：传递函数形式：u(ω)jv(ω)ϕω()A(ω)u(ω)v(ω)ωImReG()jω[]ω=ω1G()jωω=0ω∞=ImReG()jω[]ω=0ωω∞=0型系统Ⅱ型系统Ⅰ型系统ImReG()jω[]ω=0ω∞=ω2.Nyquist图作图思路)(sG→)(ωjG→（必要时)(ωv)(ωu))(ωjG∠)(ωjG→特殊点)(()(,)()(,)0(jGjGjGjGjGjGnnωωω→终点起点经历的象限)∠∠∠,∞∞)2)(1(11)(ωωωωjjjjG++=)41)(1(21)4)(1(1322222ωωωωωω++−−++−=j22)(2111)(ωωωω+⋅+=jG)2(-90)(11oωωω−−−−=∠tgtgjG解:例:已知系统开环传递函数)12)(1(1)(++=ssssG作系统的Nyquist图。o90)0(,)0(−=∠∞=jGjGω=0：o270)(,0)(−=∠=∞ωjGjGω=∞：21−=ωv(ω)=0：特殊点：ImReG()jw[]ω=0ω∞=ω4.3.2绘制系统Bode图1.典型环节Bode图①积分环节②微分环节③惯性环节④一阶导前环节⑤二阶振荡环节⑥二阶导前环节①②③⑥⑤④①②③④⑤⑥dB20lgGGTωωs-1()0o45o90o180o180o90o45o---1ωs-1()02040-20-40Tω2.Bode图作图思路(1)由传递函数求出频率特性；(2)将转化为若干典型环节的频率特性相乘(或相除)的形式；（常数项归一化）(3)找出各典型环节的转角频率；(4)作出各环节的对数幅频特性的渐近线；(5)对渐近线进行修正，得出各环节的对数幅频特性的精确曲线；(6)将各环节的对数幅频特性叠加(不包括系统总的增益K)；(7)将叠加后的曲线垂直移动20lgK，得到系统的对数幅频特性；(8)作各环节的对数相频特性，然后叠加得到系统总的对数相频特性；(9)有延时环节时，对数幅频特性不变，对数相频特性则应加上τω−)(ωjG)2)(2()3(10)(2++++=ssssssG例1：已知系统开环传递函数解：1.将常数项变为1，写成标准形式，分析组成系统的典型环节)12121(2s)21(12)311(310)(2++⋅⋅+⋅+⋅=sssssG]1212212)()21)[(21(1)31(15.7)(22+⋅⋅+++=ωωωωωωjjjjjjG系统由比例、积分、一阶惯性、二阶振荡和一阶导前环节组成。2.求出各环节转角频率，并从小到大排列:绘制系统Bode图。iTiT1=ω1，，2，3，7.5积分↑，二阶↑，惯性↑，导前↑，比例↑==iTiT1ω23.依次作出各环节Bode图：积分、二阶、惯性、一阶导前环节的Bode