高中数学必修一、必修四、必修五知识点

高中数学必修一、必修四、必修五知识点一、知识点梳理必修一第一单元1.集合定义：一组对象的全体形成一个集合.2.特征：确定性、互异性、无序性.3.表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}、韦恩图、语言描述法{不是直角三角形的三角形}4.常用的数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*.5.集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集φ不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝5.关系：属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等＝.6.集合的运算（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合；表示为：BA数学表达式：BxAxxBA且性质：ABBAAAAA,,（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合；表示为：BA数学表达式：BxAxxBA或性质：ABBAAAAAA,,（3）补集：已知全集I，集合IA，由所有属于I且不属于A的元素组成的集合。表示：ACI数学表达式：AxIxxACI且方法：韦恩示意图,数轴分析.注意：①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；②AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ.③若集合A中有n)(Nn个元素，则集合A的所有不同的子集个数为n2，所有真子集的个数是n2-1,所有非空真子集的个数是22n。④空集是指不含任何元素的集合。}0{、和}{的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为BA，在讨论的时候不要遗忘了A的情况。⑤符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“,Ø”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。8.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域.①．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.②．求函数的值域的方法:先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法9.两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则（与表示自变量和函数值的字母无关）都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.10.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.11.函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法12.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：1)凑配法2)待定系数法3)换元法4)消参法10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2利用图象求函数的最大（小）值○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；13．一些有用的结论：(1)奇函数在其对称区间上的单调性相同；(2)偶函数在其对称区间上的单调性相反；(3)若奇函数()fx的定义域包含0，则(0)0f新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆15.复合函数(1).复合函数：若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。(2).复合函数的定义域：若已知()fx的定义域,ab，其复合函数()fgx的定义域应由()agxb解出(3).复合函数)(xgfy在公共定义域上的单调性：①若f与g的单调性相同，则)(xgf为增函数；②若f与g的单调性相反，则)(xgf为减函数。简记为“同增异减”注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况．(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．必修一第二单元1．根式的概念:一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*．当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用符号na表示．式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号－na表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并成±na（a0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00n．结论：当n是奇数时，aann当n是偶数时，)0()0(||aaaaaann2．分数指数幂规定：)1,,,0(*nNnmaaanmnm)1,,,0(11*nNnmaaaanmnmnm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．有理指数幂的运算性质（1）ra·srraa),,0(Qsra；（2）rssraa)(),,0(Qsra；（3）srraaab)(),0,0(Qrba．一般地，无理数指数幂),0(是无理数aa是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．4.一般地，函数)1a,0a(ayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．5.指数函数的性质图象特征函数性质1a1a01a1a0向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0，1）1a0自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数Nalog在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于11a,0xx1a,0xx在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于11a,0xx1a,0xx图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；6.对数的概念：一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：Nxaloga—底数，N—真数，Nalog—对数式说明：○1注意底数的限制0a，且1a；○2xNNaaxlog；○3注意对数的书写格式．两个重要对数：○1常用对数：以10为底的对数Nlg；○2自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．7.对数式与指数式的互化：xNalogNax8.对数的性质（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：01loga；（3）底数的对数是1：1logaa；（4）对数恒等式：NaNalog；（5）nanalog．9.如果0a，且1a，0M，0N，那么：（1）Ma(log·)NMalog＋Nalog；（2）NMalogMalog－Nalog；（3）naMlognMalog)(Rn．10.换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）．（1）bmnbanamloglog；（2）abbalog1log．11.对数函数的概念1．定义：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．对数函数对底数的限制：0(a，且)1a．○2类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：图象特征函数性质1a1a01a1a0函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，＋∞）图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1，1）11自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大