《工程力学》教学课件第二章平面力系和平面力偶系

第一节力在坐标轴上的投影第二节平面汇交力系的合成与平衡第三节力矩、平面力偶系的合成与平衡第四节力线的平移定理第五节平面任意力系的简化第六节平面任意力系的平衡方程及应用第七节静定与静不定问题及物系的平衡第二章平面力系和平面力偶系本章主要研究平面汇交力系和平面力偶系的合成及其平衡条件。对于平面力系要掌握其平衡条件，掌握用几何法和解析法解决平衡问题。对于平面力偶系在力线平移定理的基础上将平面任意力系简化为一个平面汇交力系和平面力偶系，并能通过平衡条件解决问题。教学目的和要求平面汇交力系的合成和平衡条件；合力矩定理；平面力偶系的合成和平衡条件；平面任意力系的简化及其平衡条件。教学重点力矩的概念性质及合力矩定量；平面力偶系的合成与平衡；力线平移定理；平面任意力系的简化及其平衡条件。教学难点FFFXxcosFFFYycos2222yxFFYXF研究平面汇交力系的前提是力在坐标轴上的投影X=Fx=Fcos=FsinY=Fy=Fcos=Fsin第一节力在坐标轴上的投影XXXXFRx421YYYYYFRy4321YFRyXFRx合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。根据矢量代数知识，矢量在平面直角坐标系下的的解析表达式为：FFRjYiXFjYiXF)()(FR2222YXFFFyRxRRXYFFxRyRtan一、平面汇交力系的合成）（o212221180cos2FFFFFR)180sin(sin1RFF1）两个共点力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理：由力的平行四边形法则合成，也可用力的三角形法则合成。第二节平面汇交力系的合成与平衡1.几何法2）任意个共点力的合成(力多边形法）先作力多边形abcde再将R平移至A点平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。即FRFnRFFFFF321结论：推广至n个力2.解析法利用合力投影定理，有下式求出合力的大小，确定合力的方向。2222YXFFFyRxRRXYFFxRyRtan二、平面汇交力系平衡的几何条件在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：平面汇交力系平衡的充要条件是：0FRF力多边形自行封闭或力系中各力的矢量和等于零。平面汇交力系平衡的充要条件是：0022yRxRRRFFFF00YFXFyRxR注意：对力的方向判定不准的，一般用解析法。利用平衡方程通过解析法解题时，力的方向可以任意假设，如果求出负值，说明力的方向与假设相反。三、平面汇交力系的平衡方程例2-1如图所示机构，已知：力P=15kN,杆件BC=AC=1m，AC与BC相互垂直且铰接于C。求：在力P的作用下杆件AC与BC所受力的大小。解法一：几何法(1)选铰C为研究对象，进行分析。NFFBCACk61.10（2）画出力多边形，通过测量得：解法二：平衡方程法（1）选铰C为研究对象；（2）取分离体画受力图，如图所示；（3）列平衡方程为0X045cos45cosBCACFF0Y045sin45sinBCACFFPkN221545sin20PFFBCAC（4）解平衡方程，得第三节力矩、平面力偶系的合成与平衡一、力对点的矩1.力矩的概念和性质将力F对点O的矩定义为：力F的大小与从O点到力F的作用线的垂直距离的乘积，即FhFMO)(方向用右手法则确定：以使物体作逆时针转动为正（图示为正），作顺时针转动为负，将O点到力O的作用线的垂直距离h称为力臂。①M0（F）是代数量；②随着力F和垂直距离h的增大，物体转动效应明显；③M0（F）是影响转动的独立因素，当F=0或h=0时，M0（F）=0；④M0（F）的国际单位N·m，或者kN·m；⑤M0（F）=±2S△AOB=±Fh，S△AOB为△AOB的面积。说明：(1)力沿力的作用线移动，不改变它对某点的矩；(2)互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零；(3)当力的作用线通过矩心，则力矩为零。力矩的性质：2、合力矩定理平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩等于力系中所有各分力对同一点之矩的代数和，即niiOOFMFM1)()(3、力矩与合力矩的解析表达式xyxOyOOyFxFyFxFFMFMFMcossin)(例2-2已知：某物体铰接于点O，物体上点作用有力F和Q，力F的作用线垂直于AO，AO与力Q的作用线夹角为α，O点到力Q作用线的垂直距离为h，如图所示。求：M0（F）和M0（Q）。解（1）由力对点之矩定义，得sin)(hFFMOhQQMO)(（2）应用合力矩定理，得sinctgcossinctg)(hFhFhFhFhFFMyxOhQQMO)(二、力偶力偶：两力大小相等、作用线不重合的反向平行力叫力偶。1、力偶及其性质力偶使物体转动效应一般通过力偶矩来衡量，力偶矩的大小为Fd，方向由右手法则确定，平面力偶矩也为代数量，用M（F，F′）来表示，即M（F，F′）=±2S△ABC性质1：力偶在任何坐标轴上的投影等于零。性质2：力偶不能合成为一个力，或者说力偶没有合力。性质3：平面力偶等效定理。力偶的性质：（1）力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。（2）只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。力偶等效条件：2.平面力偶系的合成与平衡),(),('111'111PPMFFM),(),('222'222PPMFFM111dFM222dFMdPM11dPM2221'21'21)(MMdPdPdPPdFMA合力矩'21PPFAPPFB'1其中由此可以推出niinMMMMM121即平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。平面力偶系平衡的充要条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。01niiM例2-3在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为M1=M2=M3=M4=25N·m，如图所示。求工件的总切削力偶矩和A、B端水平反力?解：各力偶的合力偶距为mN100)25(44321MMMMM由力偶只能与力偶平衡的性质，力FA与FB组成一力偶。01niiM02.04321MMMMNBN5002.0100BNN500BANN第四节力线的平移定理一、力线平移定理作用在刚体上某点的力，可以平移至刚体上任意一点，但同时必须增加一个附加力偶，该力偶的力偶矩等于原力对该点之矩。FdFFMM),(''FdFMB)(FdFMMB)(（1）力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力等效与力和力偶的共同作用；（2）力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=Fd；（3）力线平移定理是力系简化的理论基础。由证明过程可以归纳出：二、固定端约束在工程实际中，有很多构件的一部分嵌固于另一物体上而受到约束作用，这样的约束称为固定端约束。这种约束不但限制物体在约束处沿任意方向的线位移，也限制物体在约束处的角位移，即物体在A端没有移动和转动。第五节平面任意力系的简化一、力系向平面内任意一点的简化平面任意力系的得简化主要依据是力线平移定理，简化的实质是将一个平面任意力系分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系，然后将这两个力系进行合成。FFFFFR321'主矢主矩)()()()(03020103210FMFMFMFMMMML由合力投影定理，将上式写成解析形式，得：222'2')()(YXFFFyRxRRXYFFRR1xy1tantan0,0)1('ORLF平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩，可能有以下几种情况：0,0)2('ORLF该力系等效一个合力偶0,0)3('ORLF该力系等效一个合力0,0)4('ORLF仍然可以继续简化为一个合力，方法如下：RFOMOORFRFO’RFO’RFOdRORRFLdFF,称该力系平衡只要满足：d二、简化结果分析与合力矩定理合力矩定理——平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。)()(FMFMORO物体在力系作用下，保持平衡的充分必要条件是:力系的主矢与对任一点的主矩均为零，即：0,0,0FMYXO上式称为平衡方程一矩式，二矩式和三矩式分别为：0000FMFMYXBA或000FMFMFMCBA条件是：AB两点的连线不能与x轴或y轴垂直条件是：ABC三点不能共线第六节平面任意力系的平衡方程及应用例2-4如图所示的体系，已知P=150kN，AC=1.6m，BC=0.9m，CD=CE=1.2m，AD=2m且AB水平，ED铅垂，BD垂直于斜面，求FB和A支座反力。解(1)以体系整体为研究对象。(2)画出受力图。(3)选坐标列方程。0sincossin,0'PYXXAA02.15.2,0)(PYFMAB5322.1cos;5426.1sinADCDADAC而N72;N96:KYKXAA解得(4)再研究AB杆。,0CM由kN160549.06.1)72(sinBCACYSAB0sinACYCBFAB例2-5简支梁受力如图所示，已知：均布荷载q=1kN/m，集中力F=5kN，力偶M=4kN·m，求支座反力。解:(1)以AB梁为研究对象。(2)画出受力图。(3)选坐标列方程。0)(FMA02458qPMRBkN63.4BR结果为正值，说明与假设方向一致。0Y04qPRRBAkN37.4AR由得由得结果为正值，说明与假设方向一致。第七节静定与静不定问题及物系的平衡一、静定与静不定问题静定问题——未知力数目等于对应的独立平衡方程的数目，因此可以由平衡方程求得所有的未知量，这一类问题我们称之为静定问题。静不定问题——未知力数目多于对应的独立平衡方程的数目。静不定问题的求解必须借助变形协调方程。二、物系的平衡物系——两个或两个以上的物体通过一定的联结（约束）方式组合在一起的系统称为物系或物体系。物系内部物体之间作用的力称为内力；物体外部作用于整个物系的力称为外力。一般情况下，研究物系的受力时不考虑内力，但当研究物系中个别物体时必须考虑内力。当物系处于平衡状态时，物系内的每个物体也处于平衡状态，因此在研究物系平衡时，选取研究对象，既可以选个别物体，也可以选几个物体的组合甚至整个物系。例2-6多跨静定梁受力如图所示，求支座A、B、C处的反力。解(1)首先取BC段为研究对象。0)(FMB022122qFCykN2CyF0Y02qFFCyBykN2ByF0X0CxBxFF(2)再取CDE段为研究对象。0X0CxF0BxF0)(FMD022MFFECykN5.5EF0Y04qFFFEDCykN5.4DF(3)取AB段为研究对象。0X0BxAxFF0BxAxFF0Y04qFFByAykN10AyF0)(FMA0244AByMqFmkN24AM(1)力线平移定理：作用在刚体上的力F可以平行移动到刚体内任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F对平移点之矩。本章小