第14章多准则决策

第5章多准则决策通过前几章的学习，我们知道了各种定量的模型是如何帮助管理者制定更好的决策的。当我们想得到最优解时.我们只是运用一个单一的标准(例如，最大化利润，最小化成本，最小化时间)。而在这一章中，我们将讨论需要决策者考虑多重标准的情况以及在这种情况下制定最好的决策所需的方法。例如，我们考虑一家需要为新厂房确定地点的公司。不同地点的土地成本和施工费用的差别很大，所以与建厂房相关的成本是选择最优地点的一个标准；如果这个成本是利益的唯一标准，那么管理者可以通过最小化土地成本和施工费用之和来简单地确定地点了。但是，在做任何决定之前，管理者也会考虑其他的标准，比如，从厂房到公司配送中心的交通是否便利，所选地点招聘和留住员工上是否有吸引力，所选地点的能源成本以及当地的税率。这样，问题就复杂起来了，因为一个地点在某个标准下是较具优势的，但在其他标准下又优势不足。为了介绍多准则决策问题，我们可以使用一种称为目标规划的方法。这种方法用来解决多准则问题时，通常会使用到线性规划的框架。接下来我们可以考虑采用计分模型，它也是用来求多准则问题最优解的.且相对比较容易。最后，我们介绍层次分析法(AHP)。用户使用这种方法，可以在多种标准和各决策方案中做两两比较，得到各种决策方案的优劣排序。14.1目标规划：建模与图解法为了阐明解决多准则决策问题的目标规划，我们以Nicolo投资咨询公司所面临的问题为例。有一个客户有80000美元用于投资，起初，他的投资分配到两种股票上：股票每股价格(美元)每股预计年收益(美元)每股风险指数美国石油2530.50哈勃房产5050.25美国石油有一个25美元的股价，收益为3美元，年收益率为12%，而哈勃房产的年收益率为10%。美国石油的每股的风险指数为0.50，哈勃房产的0.25，，这是Nicolo公司对两种投资项目的相对风险的评估。较高的风险指数值意味着较高的风险；.因此，Nicolo公司认为美国石油投资风险相对较高。这样，通过指定投资组合的最大风险指数，Nicolo公司将能避免购买过多的高风险的股票。为了说明如何用每股的风险指数来计算投资组合的总风险，我们可以假设Nicolo公司选择将80000美元全部用于购买美国石油的股票，这是高风险高收益的投资。Nicolo公司将购买80000/25=3200(股)美国石抽的股票，这个投资组合的风险指数为3200×0.50=1600。相反，如果Nieolo公司不购买任何股票,那么投资组合将没有风险，但是也没有收益。因此，投资组合的风险指数在0~1600之间。Nicolo公司的客户想避免一个高风险的投资组合；因此，将所有资金用于购买美国石油是不合适的。同时，客户同意接受的一个风险水平是投资组合的最大总风险指数为700。那么，仅考虑风险的话目标就找到一个风险指数为700或更小的投资组合。客户的另外一个目标是年收益至少为9000美元。投资组合只要由2000股美国石油[以2000×25=50000(美元)成交]和600股哈勃房产[以600×50=30000(美元)成交]组成就能达到目标了。这种情况下，年收益额达到2000×3+600×5=9000(美元)；但是，注意到这个投资战略的风险指数为2000×0.50+600×0.25=1150；因此，这个投资组合达到了年收益的目标，但没有满足风险指数的目标。这个投资组合的选择问题是一个多准则决策问题，它包含两个互相冲突的目标；一个是风险，一个是年收益。目标规划正好是用来解决这类问题的。目标规划能提供一个最接近两个目标的投资组合。在实际应用理论方法之前，如果只能选择一种的话，客户必须决定哪种目标更重要。假设客户最优先的目标是减少风险，也就是说.使投资组合的风险指数不超过700的这个目标是如此重要，以至于客户不会以牺牲这个目标来换取更高的年收益。只要投资组合的风险指数不超过700，客户会尽可能追求最大的收益。基于这个优先级，此问题的目标如下：主要目标(第一优先级)目标1：找到一个风险指数不超过700的投资组合。二级目标(第二优先级)目标2：找到一个年收益至少为9000美元的投资组合。主要目标被称为第一优先级目标，二级目标被称为第二优先级目标。在目标规划的专业术语里，这些被称为优先级，因为决策者不会以牺牲第一优先级目标的代价来换取其他优先级。投资组合风险指数700是第一优先级(主要)目标的目标值，而年收益9000美元是第二优先级(二级)目标的目标值。找到一个满足这些目标的解的困难在于只有80000美元可供投资.14.1.1构建约束条件和目标等式首先，让我们定义决策变量：U——购买的美国石油股票数；H——购买的哈勃房产股票数。目标规划问题约束条件的处理方法与一般线性规划问题完全一样。在Nicolo投资咨询公司的问题中，其中的一个约束条件对应的是可使用的资金。因为每股美国石油价值25美元，同时每股哈勃房产价值50美元，所以可使用资金的约束条件表示为；25U+50H≤80000为了完成模型的公式化，我们必须为每个目标创建一个目标等式。首先让我们写出主要目标(目标1)的目标等式。每股美国石油有一个0.50的风险指数，而每股哈勃房产的风险指数为0.25；因此，投资组合的风险指数是0.50U+0.25H。根据U和H的值，投资组合的风险指数可能小于、等于或大干目标值700。用数学式表达这些可能性，我们得到如下目标等式：0.50U+0.25H=700+（d1+）-（d1-）式中，dl+——投资组合的风险指数超过目标值700的数量；dl-——投资组合的风险指数少于目标值700的数量。在目称规划中，d1+和d1-被称为偏差变量。设置偏差变量的目的是允许出现结果不精确等于目标值的可能。比如，由U=2000股美国石油和H=0股哈勃房组成的投资组合，它的风险指数为0.50×2000+0.25×0=1000。这样，d1+=300反映的情况是投资组合的风险指数超过目标值300个单位；注意，既然dl+大于0，那么d1-的值必须为0。如投资组合由U=0股美国石油和H=1000股哈勃房产组成，那么它的风险指数为0.50×0+0.25×1000=250。在这种情况下，d1-=450而d1+=0，表明解提供了一个风险指数比目标值700小450的投资组合。通常，字母d在目标规划模型中被用来代表偏差变量。上标正号(+)或者负号(-)用来表示变量与目标值之差是正数或是负数。如如果我们将偏差变量移到等式的左边，我们就能重写主要目标的目标等式，如下：0.50U+0.25H–d1++d1-=700注意，目标等式右边的数值就是目标值。目标等式左边包含两部分：1.用决策变量来定义最终目标完成情况的函数(如，0.50U+0.25H)。2，偏差变量指的是目标值和现有水平之间的差值。我们接下来创建二级目标（目标2）的目标式。我们首先写出投资的年收益的函数表达式：年收益=3U+5H接着我们定义两个偏差变量来表示超过或少于目标的数量。这样，我们得到：d2+——投资组合的年收益超过目标值9000美元的数量；d2--——投资组合的年收益少于目标值9000美元的数量。利用这两个偏差变量、我们写出目标2的目标等式，如下：3U+5H=9000+d2+-d2-;或3U+5H–d2++d2-=9000到这一步为止，Nicolo投资组合问题的目标等式和约束条件就构建完成了。现在我们就可以准备求这个问题的目标函数了。14.1.2根据优先级列出目标函数目标规划模型中的目标函数要求最小化偏差变量的函数。在投资组合的选择问题中，最重要的目标，标记为P1,在我们的例子中是找到一个风险指数等于或小于700的投资络合。这个问题只有两个目标，且客户不愿意为了达到二级的年收益目标而接受一个风险指数大于700的投资组合。二级目标标记为P2。正如我们前面叙述的那样，这些目标优先级是专有优先级，因为高级目标的满意度不能与低级目标的满意度相交换。具有优先级的目标规划问题在列出目标函数时先考虑第一优先级(P1)。思路就是首先找到一个最接近于满足第一优先级目标的解。然后，再解一个含有第二优先级(P2)的目标函数，对刚才得到的解进行修改；当然，这些对解的修改都必须满足P1目标的实现不受影响。总的来说，具有优先级的目标规划问题的求解就是解一系列含有不同目标函数的线性等式；首先考虑P1目标，其次考虑P2目标，再次是P3目标，依此类推。其中，每一步修改部必须满足对任一更高级目标的实现都不受影响。目标规划问题所需依次求解的线性规划的个数由优先级的个数决定。每个优先级都必须求解一个线性规划。我们将第一个求解的线性规划称为第一优先级问题，第二个求解的线性规划称为第二优先级问题，依此类推。每个线性规划都由高一级修改目标函数并增加一个约束条件得到。我们首先给第一优先级问题创建目标函数。客户已经表示了投资组合的风险指数不能超过700。如果低于目标值700，有没有问题呢？显然，答案为否，因为投资组合的风险指数小于700，则对应的风险也小了。那如果超过目标值700呢？答案为是，因为投资组合的风险指数大于700就无法满足客户的要求了。因此，对应第一优先级的线性规划的目标函数应该最小化d1+的值。我们已经列出了目标等式和可使用资金的约束条件。由此，第一优先级的线性规划如下：P1问题mind1+s.t.25U+50H≤80000可用资金0.50U+0.25H-d1++d1-=700P1目标3U+5H-d2++d2-=9000P2目标14.1.3图解法目标规划的图解法类似于第2章线性规划的解法，唯一的区别在于目标规划的解法包含了给每一优先级求一个单独的解。回顾线性的图解法，它是以图解的形式列出决策变量的值的。因为决策变量非负，所以我们只需考虑U≥0且H≥0的那部分图。回顾一下，图上所有的点都称为解点。用图解法解Nicolo投资问题的第一步，是找出所有满足可使用资金约束的解点：1000200030004000100020003000oUH可行投资组合可用资金25U+50H=80000图14-1满足可使用资金约束条件的投资组合哈勃房产的股票数美国石油的股票数图14-1中的阴影部分代表可行投资组合，它包括了满足这个约束条件的所有解点——也就是说满足25U+50H≤80000的U和H的值。第一优先级线性规划的目标就是最小化d1+，也就是投组合风险指数超过目标值700的数量。如前所述，P1的目标等式是：0.50U+0.25H–d1++d1-=700当P1的目标被精确地满足时，d1+=0且d1-=0；此时目标等式可简化为0.50U+0.25H=700。图14-2显示了这个等式的曲线；图中阴影部分表示所有满足可使用资金约束条件且d1+=0的解点。因此，阴影部分包括了所有实现第一优先级目标的可行解点。1000200030004000100020003000oUH可用资金25U+50H=80000图14-2满足P1目标的投资组合哈勃房产的股票数美国石油的股票数d1+=0且满足第一优先级目标的可行组合第一优先级的目标等式d1+=d1-=0时，0.50U+0.25H=700到此为止，我们已经解决了第一优先级的问题。注意可能存在无穷多个最优解的情况。事实上，在图14-2中的阴影区域的点中，投资组合风险指数都小于或等于700，所以dl+=0。NiGolo投资问题第二优先级的目标是找到一个能带来至少9000美元年收益的投资组合。如果超过目标值9000美元，有没有问题呢？显然，答案为否，因为，年收益超过9000美元的投资组合意味着高收益。那如果低于目标值9000美元呢？答案为是，因为客户不能接受年收益低于9000美元的投资组合。因此，对于第二优先级线性规划的目标函数必须最小化d2-的值。然而，由于目标2是第二级目标，因此满足第二优先级的解同时还必须满足第一优先级。这样，第二优先级的线性规划可以写成：P2问题mind2¯s.t.25U+50H≤80000可用资金0.50U+0.25H-d1++d1¯=700P1目标3U+5H-d2++d2¯=9000P2目标d1+=0满足P1目标U,H,d1+,d1¯,d