第16讲随机决策分析方法

第十六章随机性决策分析方法32019年8月31日随机性决策问题的基本概念；效用函数的概念；效用与风险的关系；随机优势与效用函数的关系；案例分析：彩票中的数学问题。一、问题的引入－彩票与数学42019年8月31日彩票中的数学知多少？你们了解彩票吗？你们买过彩票吗？你们了解彩票的规则吗？No,Idon’tknow!请问几个问题：（1）博彩有规律可寻吗？（2）现行的各种彩票方案中奖的可能性有多大？（3）现行的彩票方案合理吗？哪种方案“好”？（4）我们应该如何看待彩票？中国的彩票业还有多大的发展空间？我想应该有规律吧！啊！有这么悬乎吗？52019年8月31日一、问题的引入－彩票与数学“彩票中的数学”问题（CUMCM2002-B）近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“10选6+1”方案：中奖等级10选6+1（6+1/10）基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选7中（6+1）二等奖abcdef选7中（6）三等奖abcdeXXbcdef选7中（5）四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef选7中（4）五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中（3）六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中（2）62019年8月31日一、问题的引入－彩票与数学“彩票中的数学”问题（CUMCM2002-B）“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案和“36选6+1”的方案，中奖等级33选7（7/33）36选6+1（6+1/36）基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选7中（7）●●●●●●★选7中（6+1）二等奖●●●●●●○★选7中（6+1）●●●●●●选7中（6）三等奖●●●●●●○选7中（6）●●●●●○★选7中（5+1）四等奖●●●●●○○★选7中（5+1）●●●●●○选7中（5）五等奖●●●●●○○选7中（5）●●●●○○★选7中（4+1）六等奖●●●●○○○★选7中（4+1）●●●●○○选7中（4）七等奖●●●●○○○选7中（4）●●●○○○★选7中（3+1）72019年8月31日一、问题的引入－彩票与数学“彩票中的数学”问题（CUMCM2002-B）要解决的问题：（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。82019年8月31日二.随机性决策的基本概念随机性决策问题包含两个方面：•决策人所采取的行动方案(决策);•问题的自然状态(状态)；基本特点：后果的不确定性和后果的效用。后果的不确定性：由问题的随机性，使问题会出现什么状态的不确定性，决策人做出决策后会出现后果的不确定性。后果的效用：后果价值的量化。由后果的不确定性，对于不同决策后果的效用是不同的。92019年8月31日1、主观概率二.随机性决策的基本概念随机性决策问题后果的不确定性是由状态的不确定性引起的，状态的不确定性不能通过在相同条件下的大量重复试验来确定其概率分布。实际中只能由决策人主观地做出估计，称其为主观概率。主观概率遵循客观概率应该遵循的假设、公理、性质等，客观概率的所有逻辑推理方法均适用于主观概率。设定主观概率的方法：主观先验分布法、无信息先验分布法、极大熵先验分布法和利用过去数据设定先验分布法等。102019年8月31日2、随机性决策的效用函数二.随机性决策的基本概念设决策人在选择某一方案时，决策问题可能有n个后果;,,,21nCCC后果iC可能发生的概率为),,2,1(nipi，且11niip。用P表示所有后果的概率分布，记),;;,;,(2211nnCpCpCpP，则称P为展望。所有展望构成的集合记作P，可以验证P关于凸线性组合是封闭的。即如果1P，PP2，而且10，则有PPP21)1(112019年8月31日对于任意PPP21,都存在一定的优先关系，即决策人可认为1P优于2P，或1P与2P无差异，或1P不优于2P.2、随机性决策的效用函数这三种关系分别记为：1P2P，~1P2P和2P1P。这种优先关系反映了决策人对各种后果的爱好程度。122019年8月31日效用函数的定义：2、随机性决策的效用函数定义1设)(Pu是定义在P上的实值函数，且满足：（1）它和在P上的优先关系一致，即如果对于所有1P，PP2，有1P2P，当且仅当)(1Pu)(2Pu。（2）它在P上是线性的，即如果1P，PP2，而且10，则)()1()())1((2121PuPuPPu那么称)(Pu是定义在P上的效用函数。132019年8月31日如果PCpCpCpPnn),;;,;,(2211，则)(Pu是表示以概率ip选择),,2,1(niCi的期望效用。2、随机性决策的效用函数如果效用反映决策人对一个不确定事件可能冒风险的态度，则称这种效用为基数效用。如果所研究的事件是确定的事件，并不受自然状态的影响，用一个效用来表示决策人对确定事件各种后果的偏好程度，称这种效用为序数效用。142019年8月31日定义2设X为所有确定事件的后果x的集合，u是定义在X上的实值函数，如果对于任意的Xxx21,有)()(21xuxu，当且仅当21xx，则称u是定义在X上的序数效用函数。基数效用和序数效用的主要区别：基数效用在正线性变换下是唯一的，而序数效用在保序变换下是唯一的。正线性变换：)0()()(ˆPuPu。保序变换：))(()(ˆxufxu，对任意Xx，f为严格单调增加函数。2、随机性决策的效用函数152019年8月31日实际中的决策问题对决策人的决策往往是效益和风险并存。不同的决策人对待风险的态度可分为厌恶型、中立型和喜好型。3、效用与风险的关系二.随机性决策的基本概念假设决策人面对一种风险:有21的机会得不到任何盈利，也有21的机会盈利a2元，即他的期望盈利为a元。问题：决策人对待这一风险的态度是什么呢？162019年8月31日3、效用与风险的关系厌恶型:决策人认为冒此风险的期望盈利只等价于比它低的不冒风险的盈利。喜好型:对待风险的态度与厌恶型相反的。中立型：介于二者之间的，即决策人认为这和不冒任何风险的另一行为盈利a元等价。这三种不同的态度可以反映在效用函数上就是凹函数，线性函数和凸函数。172019年8月31日3、效用与风险的关系风险厌恶型:2)()(21)(21213xxuxuxuxu。风险中立型:2)()(21)(21213xxuxuxuxu风险喜好型:2)()(21)(21213xxuxuxuxu182019年8月31日实际中，有的效用函数曲线呈S型，即在后果的范围内，决策人会从厌恶风险变为喜好风险。3、效用与风险的关系(1)反映了决策人的财产从小到大，对待风险的态度从喜好到厌恶的改变。(2)反映了决策人的财产从损失到盈利的增加，对待风险的态度从喜好到厌恶的变化。192019年8月31日4、损失函数与风险函数的关系实际中，常用损失函数),(al表示决策问题的状态为，决策人的行动为a时所产生的后果使决策人所受的损失。二.随机性决策的基本概念损失函数可以为正，也可以为负，它反映决策人获得的利益，后果效用愈大，则损失愈小。即可以用效用来定义损失函数),(),(aual。202019年8月31日4、损失函数与风险函数的关系若要求问题的损失函数总是非负的，则可以定义为),(),(supsup),(auaualAa在效用理论中，期望效用能够表示决策人对待待风险的偏好，而期望损失是决策人在风险情况下遭受损失的一个测度。212019年8月31日5、随机优势与效用函数二.随机性决策的基本概念这种方法所研究的问题一般是财富问题，即用效用函数)(xu的自变量x(随机变量)表示财富。实际中总是有],[bax，且)(xu在],[ba上有界.随机优势法:在有价证券问题的研究中常用的一种在一定风险的情况下确定决策的方法。随机优势法常用的效用函数有三种：222019年8月31日5、随机优势与效用函数对于实际中的问题，要求财富效用函数)(xu对所有],[bax，)(xu是x的非递减函数，即意味着当财富增加时，它的效用总不会减少。即)(xu通常是随着x的增加严格递增加的，而且是有界的。（１）递增的效用函数假设：1)对于任意],[,21baxx，当21xx时有)()(21xuxu；2))(xu在],[ba上连续，且有界，即存在0M使Mxu)(；3))(xu在],[ba上一次可微，且在),(ba内有Mxu)(0。232019年8月31日5、随机优势与效用函数（１）递增的效用函数记此类效用函数为1U，即uuU{1和u在],[ba上连续有界，且在),(ba内}0u1U中既可包含厌恶的效用函数，也可包含喜好风险和风险中立的效用函数。这种类型的效用函数仅能反映出财富与风险的关系，但不能反映出决策人对待风险的态度。242019年8月31日5、随机优势与效用函数（２）递增的凹效用函数这种效用函数是递增的，故设1)(Uxu，而且是严格凹的，即)(xu在],[ba上具有二阶连续有界的导数。记为],[,{12baCuUuuU，且在),(ba内}0u常用的2U类函数有：幂函数:)0,0](,[,)(acbaxxxuc;对数函数:),0(],[,log)(baxxxu;指数函数:)0(),[,)(caxexucx.252019年8月31日由风险和效用的关系，当uu,存在，且0u时，定义对待风险态度的局部测度：)()()(xuxuxr，即)(xr是效用函数)(xu的曲率测度。5、随机优势与效用函数（２）递增的凹效用函数如果0)(xr，则决策人的财产为x时，他是厌恶风险的。事实上，可以证明：如果0)(xr，则决策人的财产为x时，他是风险中立的。如果0)(xr，则决策人的财产为x时，他是追求风险的，而且)(xr愈大，他愈厌恶（或追求）风险。（3）递减的厌恶风险的效用函数262019年8月31日5、随机优势与效用函数实际中，多数决策人对小额盈亏的态度是随着财富的积累而变化的，他们的财富积累愈多，对小额盈亏所冒风险的厌恶程度愈小。23{UuuU)(,xr在],[ba上连续可微，有界，且}0)(xr即3U是2U的一个子类。假设)(xr是x的非递增的函数，则可得到一类效用函数:272019年8月31日由于当0)(xr时，)(xr是非递增的。（3）递减的厌恶风险的效用函数5、随机优势与效用函数要使0)(xr，即由0)]([)]([)(22xuxuuuxr，则0)(2uuu，故0)()(2uuxu。3U类函数存在的必要条件是),(,0baxu，但不是充分条件。282019年8月31日1、问题的提出三、案例分析：彩票中的数学问题要解决的问题：（1）根据所给方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。292019年8月31日２、问题的分析三、案例分析：彩票中的数学问题评价一个方案的优劣，或合理性如何，主要取决于彩票公司和彩民两方面的利益。事实上，公司和彩民各得销售总额的50%是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。问题是怎样才能有利于销售额的增加？即公司采用什么样的方案才能吸引广大的彩民积极