培优专题 勾股定理及应用(含解答)-

-1-培优专题勾股定理及应用勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”．数学家陈省身说过：“欧几里德几何的主要结论有两个，一个是三角形内角和定理，另一个就是勾股定理．”数学家华罗庚曾建议把它送入其他星球，作为地球人与其他星球人“交谈的语言，用于探索宇宙的奥秘”．勾股定理是我们研究和解决几何问题的重要理论依据之一，也是人们在生产实践和生活中广泛应用的基本原理，许多求线段长、角的大小；线段与线段，角与角，线段与角间的关系等问题，常常都用勾股定理或逆定理来解决．因此，勾股定理及应用是中考竞赛等考查的重要内容．例1已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6，求这个三角形的面积．分析由斜边长是2，周长是2+6，易知两直角边的和是6，又由勾股定理可知两直角边的平方和为4，列关于两直角边的方程，只需求出两直角边长的积，即可求得三角形的面积．本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握．解：设直角三角形的两直角边为a、b，根据题意列方程得：2222,226abab即224,6.abab②式两边同时平方再减去①式得：2ab=2，∴12ab=12．∴S=12．因此，这个三角形的面积为12．练习11．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，求图形中阴影部分的面积．BACD①②-2-2-12．已知：长方形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长．3．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（）A．1：2：4B．1：3：5C．3：4：7D．5：12：13例2如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？分析图形沿EF折叠后A、C重合，可知四边形AFED′与四边形CFED全等，则对应边、角相等，∴AF=FC，且FC=AE，则△ABF≌△AD′E，由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积．解：∵图形沿EF折叠后A、C重合，∴四边形AFED′与CFED关于EF对称，则四边形AFED′≌四边形CFED．∴∠AFE=∠CFE．∴AF=FC，∠D′=∠D=∠B=90°AB=CD=AD′．∵AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC．∴∠AEF=∠AFE．则AE=AF．∴Rt△ABF≌Rt△AD′E．在Rt△ABF中，∵∠B=90°，∴AB2+BF2=AF2．设BF=x，b2+x2=（a-x）2，∴x=222aba．∴S=2S△ABF=2×12bx=2×12·b·222aba=22()2baba．练习21．如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．2-22-3-3-2．如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B离墙脚O的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A′时，梯子的底部向外移动多少米？2-42-53．如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（）A．3.74B．3.75C．3.76D．3.77例3试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）的三角形是否是直角三角形？分析先确定最大边，再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．解：∵n为正整数，∴（2n2+2n+1）-（2n2+2n）=2n2+2n+1-2n2-2n=10，（2n2+2n+1）-（2n+1）=2n2+2n+1-2n-1=2n20．∴2n2+2n+1为三角形中的最大边．又（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，（2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1．∴（2n2+2n+1）2=（2n2+2n）2+（2n+1）2．∴这个三角形是直角三角形．练习31．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2．如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=14BC，猜想AF与EF的位置关系，并说明理由．2-6-4-3．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m1），那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1．B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．D．△ABC不是直角三角形．例4已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6.5．求证：△ABC是直角三角形．分析欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，从而有△BDE≌△ADC，这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．证明：延长CD到E，使DE=CD，连结BE．∵AD=BD，CD=ED，∠ADC=∠BDE．∴△ADC≌△BDE（SAS）．∴BE=AC=12．∴∠A=∠DBE．∴AC∥BE．在△BCE中，∵BC2+BE2=52+122=169．CE2=（2CD）2=（2×6.5）2=169．∴BC2+BE2=CE2．∴∠EBC=90°．又∵AC∥BE，∴∠ACB=180°-∠EBC=90°．∴△ABC是直角三角形．练习41．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△ABC的形状．先阅读下列解题过程：解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，①∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC为直角三角形．④问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________；（2）本题的正确结论是________．2-7-5-2．如图2-8，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长．3．如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．2-9例5如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．分析若作AE⊥BC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是Rt△ADC的直角边．∴AD=CD-AC，若设DE=x，借助于AD这个“桥”可以列出方程．解：作AE⊥BC于E．∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=EC=12BC=12×32=16．在Rt△AEC中，AE2=AC2-CE2=202-162=144，∴AE=12．设DE=x，则在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=144+x2，在Rt△ACD中，AD2=CD2-AC2=（16+x）2-202．∴144+x2=（16+x）2-202解得x=9．∴BD=BE-DE=16-9=7．练习51．如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．求证：AD2=AC2+BD2．2-102-11-6-2-122．如图2-13，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．2-133．如图2-14．长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？2-14-7-答案:练习11．24（提示：利用勾股定理即可求出）2．长方形的对称轴有2条，要分别讨论：（1）以A、B为对称点（如图）∵S=AB×BC，AB=2，∴BC=AD=2S．根据对称性得DF=12AB=1．由于∠D=90°，据勾股定理得：AF=22214SADDF=1224S（2）以A、D为对称点（如图）∴BF=12BC=4S．由∠B=90°，据勾股定理得：AF=222416SABBF=21644S．3．D练习21．214（提示：利用Rt△ABE的勾股定理即可求出）2．0.8m3．B练习31．B2．AF⊥EF（提示：连结AE，设正方形的边长为a，则DF=FC=2a，EC=4a，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF2=AD2+DF2=a2+（2a）2=54a2．同理：在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+（4a）2=516a2，-8-在Rt△ABE中，BE=34a，则AE2=a2+916a2=2516a2．∵54a2+516a2=2516a2，∴AF2+EF2=AE2．∴∠AFE=90°．∴AF⊥EF．3．A（点拨：利用勾股定理的逆定理来判定）练习41．（1）③、④（2）△ABC为直角三角形或等腰三角形．2．∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，∴∠C=90°．将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，C的对称点为E（如图）∴CD=DE，AC=AE=5．则△ACD≌△AED．又BE=AB-AE=8．设CD为x，则x2+82=（12-x）2．解之得x=103．∴AD2=52+（103）2．∴AD=5133．3．过点C作CE⊥CP，并截CE=CP=2，连结PE，BE．（如图）∵∠ACB=∠PCE=90°，∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB．即∠ACP=∠BCE．∴△PCA≌△ECB（SAS）．∴BE=AP=3．在Rt△PCE中，PE2=PC2+CE2=8．-9-又∵BP2=1，BE2=9，∴BE2=BP2+PE2．∴△PBE是直角三角形，其中∠BPE=90°在Rt△PCE中，PC=CE，∴∠CPE=∠CEP=45°．∴∠BPC=∠CPE+∠BPE=45°+90°=135°．（或用旋转思想求度数）练习51．连结AM．∵M为CB的中点，∴CM=MB．又∵AC2=AM2-CM2，BD2=BM2-MD2，∴AC2+BD2=AM2-MD2．又∵AD2=AM2-DM2，∴AD2=AC2+BD2．2．36（提示：连结BD，利用勾股定理及逆定理即可求出）．3．5cm（提示：将该长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面，连结AC（如图），此时线段AC的长度即为最短距离．∴AC=223(22)=5（cm）．