培优专题(二) 以正方形为背景的证明与计算

数学人教版八年级下册课件目录首页末页1．[2014·济宁改编]如图1，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF.求证：BF＝DF.培优专题(二)以正方形为背景的证明与计算图1数学人教版八年级下册课件目录首页末页证明：∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG＝EF＝FG，∠BEF＝∠DGF＝90°，∵BE＝AB－AE，DG＝AD－AG，∴BE＝DG，∴△BEF≌△DGF.∴BF＝DF.数学人教版八年级下册课件目录首页末页2．[2014·徐州]已知：如图2，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE，AF.图2数学人教版八年级下册课件目录首页末页(1)求证：∠ECF＝90°；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；(3)在(2)的条件下，△ABC应该满足条件：_______________，就能使矩形AECF变为正方形．并证明．(1)证明：∵∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠ECF＝12×180°＝90°；∠ACB为直角数学人教版八年级下册课件目录首页末页(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF，又∵∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF；又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形；数学人教版八年级下册课件目录首页末页(3)解：当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．证明：∵由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，已知MN∥BC，当∠ACB＝90°，则∠AOE＝90°，∴AC⊥EF，∴矩形AECF是正方形．数学人教版八年级下册课件目录首页末页3．[2014·天水]如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.(1)求证：AE＝CF；(2)连接DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连接EG，FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．图3数学人教版八年级下册课件目录首页末页(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∵∠ADE＝∠CDF，∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴AE＝CF；(2)解：四边形DEGF是菱形．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，AB＝BC，∵AE＝CF，数学人教版八年级下册课件目录首页末页∴AB－AE＝BC－CF，即BE＝BF，易得△BOE≌△BOF，∴OE＝OF，∵OD＝OG，∴四边形DEGF是平行四边形，由(1)知，Rt△ADE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴平行四边形DEGF是菱形．数学人教版八年级下册课件目录首页末页4．如图4，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB；图4数学人教版八年级下册课件目录首页末页(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.∴矩形MPND是正方形．数学人教版八年级下册课件目录首页末页5．如图5(1)，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE，AF与BE交于点G.图5(1)(2)数学人教版八年级下册课件目录首页末页(1)求证：AF＝BE；(2)如图5(2)，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，∴在Rt△ADF中，∠FAD＋∠AFD＝90°.∵AF⊥BE，∴∠AGE＝90°，∴在Rt△AGE中，∠FAD＋∠AEG＝90°，∴∠AFD＝∠AEG，∴△DAF≌△ABE，∴AF＝BE；数学人教版八年级下册课件目录首页末页(2)解：MP＝NQ，理由：过点A作AF∥MP交CD于点F，过点B作BE∥NQ交AD于点E，得到▱BEQN和▱AFPM，∴AF＝MP，BE＝NQ.∵AF∥MP，BE∥NQ，MP⊥NQ，∴AF⊥BE，∴由(1)得AF＝BE，∴MP＝NQ.数学人教版八年级下册课件目录首页末页6．[2014·鄂州]在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图6放置，连接DE，BH相交于点M.求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE.图6数学人教版八年级下册课件目录首页末页证明：(1)∵四边形ABCD和四边形CEFH都是正方形，∴CB＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°.∵∠BCH＝90°＋∠DCH，∠DCE＝90°＋∠DCH，∴∠BCH＝∠DCE.在△BCH和△DCE中，∵CB＝CD，∠BCH＝∠DCE，CH＝CE，∴△BCH≌△DCE(SAS)，∴BH＝DE；第6题答图数学人教版八年级下册课件目录首页末页(2)如答图，连接BD.∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＋∠BDC＝90°.∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH＝∠CDE.∴∠DBM＋∠BDM＝∠DBM＋∠CDE＋∠BDC＝∠DBM＋∠CBH＋∠BDC＝∠DBC＋∠BDC＝90°.∴∠BMD＝180°－(∠DBM＋∠BDM)＝180°－90°＝90°.∴BH⊥DE.数学人教版八年级下册课件目录首页末页7．[2014·青岛]已知：如图7，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.(1)求证：△AOD≌△EOC；(2)连接AC，DE，当∠B＝∠AEB＝______°时，四边形ACED是正方形，请说明理由．图745数学人教版八年级下册课件目录首页末页(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠ADO＝∠OCE，∠DAO＝∠OEC.又∵OC＝OD，∴△AOD≌△EOC；(2)解：当∠B＝∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形．∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE.又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，数学人教版八年级下册课件目录首页末页∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠COE＝∠BAE＝90°.∴▱ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD.∴菱形ACED是正方形．