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第三章导数应用3.1.1导数与函数的单调性汉中市陕飞二中杨情定义法,图象法复习旧知—提问引入问题1:判断函数的单调性有哪些方法?问题2:怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性1.定义:一般地,对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,(1)若,那么f(x)在这个区间上是增函数.x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即(2)若,那么f(x)在这个区间上是减函数,此时异号,即0)()(21xfxf0)()(21xfxf)()(2121xfxfxx与)()(21xfxf)()(21xfxf(2)作差f(x1)-f(x2),并变形.2.由定义证明函数的单调性的一般步骤:(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值,且x1x2.(3)判断差的符号(与0比较),从而得函数的单调性.如:函数y=x2-4x+3的图象:2yx0单增区间:(2,+∞).单减区间:(-∞,2).;2)1(23xxxy;ln)2(xxy.1)3(xeyx问题3:那么如何求出下列函数的单调性呢?发现问题:用单调性定义讨论函数单调性虽然可行,但十分麻烦,尤其是在不知道函数图象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更为简捷的方法呢?下面我们通过函数的一些图象来考察单调性与导数有什么关系:yoxxyoxyoxy1yx2yx3yx函数在R上'()10fx(-∞,0)(0,+∞)'()20fxx'()20fxx函数在R上2'()30fxx(-∞,0)2'()0fxx(0,+∞)2'()0fxxyox探究新知00)()(2121xyxxxfxf也即增函数时有00)()(2121xyxxxfxf也即减函数时有这表明:导数的正、负与函数的单调性密切相关2yx0.......再观察函数y=x2-4x+3的图象:总结:该函数在区间(-∞,2)上单减,切线斜率小于0,即其导数为负,在区间(2,+∞)上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0由上我们可得以下的结论:如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数,如果在这个区间内0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.)(xf)(xf例1.判断函数32()23121fxxxx的单调性,并求出其单调区间.(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求导数f’(x);(3)解不等式f’(x)0,解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式f’(x)0,解集在定义域内的部分为减区间.注:单调区间不以“并集”出现。因为32()23121fxxxx所以2'()6612fxxx当12即或时,xx函数32()23121fxxxx单调递增.当21即时,x函数32()23121fxxxx单调递减.'()0,fx'()0,fx函数的单调递增区间为单调递减区间为(-2,1)32()23121fxxxx(1)(,2),和结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,则函数在该区间如果f′(x)0,注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.“某个区间”的含义,它必是定义域内的某个区间。如果f′(x)0,则f(x)为增函数;则f(x)为减函数.例2、求f(x)=x/2-ln(1+x)+1的单调区间解:函数的定义域是(-1,+∞),.)1(211121)(xxxxf由即得x1或x-1(舍).,0)1(210)(xxxf由解得-1x10)(xf故f(x)的递增区间是(1,+∞);f(x)的递减区间是(-1,1).说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.知识应用x1证明:函数f(x)=在(0,+∞)上是减函数.1.本节课我们有什么收获?2.你是如何利用导数求函数的单调区间?已知导函数的下列信息:23'()0;32'()0;32'()0.xfxxxfxxxfx当时,当或时,当或时,试画出函数图象的大致形状。()fxABxyo23()yfx应用导数信息确定函数大致图象知识拓展设是函数的导函数,的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)C课本62页习题3.1A组1,2课后思考:如何利用函数的相关信息画出函数的大致图象?
本文标题:高中数学北师大版选修2-2第二章1.1导数与函数的单调性课件
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