控制系统数学模型的建立

第2章控制系统数学模型的建立自动控制原理普通高等教育“十一五”国家级规划教材机械工业出版社2-1概述2-2数学模型2-3系统微分方程式的建立2-4传递函数2-5控制系统结构图2-6控制系统的传递函数第二章控制系统数学模型本章主要内容：•系统和元件数学模型的建立•传递函数的概念•结构图建立及化简§2-1概述动态模型：描述系统动态过程的方程式。如微分方程、偏微分方程、差分方程等。静态模型：在静态条件下(即变量的各阶导数为零)，描述系统各变量之间关系的方程式。建模途径：•理论推导法——通过系统本身机理(物理、化学规律)的分析确定模型的结构和参数，从理论上推导出系统的数学模型。•实验测试法—根据对系统的观察，通过测量所得到的大量输入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。数学模型:描述系统各变量之间关系的数学表达式。建立系统数学模型时，应注意：•根据研究目的和精确性要求，忽略一些次要因素，使系统数学模型简化，便于数学上的处理。•根据所采用的分析方法，建立相应形式的数学模型(微分方程、传递函数等)，有时还要考虑便于计算机求解。§2-2系统微分方程式的建立建立系统(或元件)微分方程式的一般步骤：(1)确定输入变量和输出变量;(2)根据物理或化学定律，列出系统(或元件)的原始方程式；(3)找出中间变量与其它因素的关系式；(4)消去中间变量，得到输入输出关系方程式；(5)若所求输入输出关系为非线性方程，则需进行线性化；(6)标准化。将输入项及各阶导数放到方程的右边，将输出项及各阶导数放到方程的左边，然后按降幂的顺序排列。建模举例1R-L-C电路ur(t)—输入量，uc(t)—输出量。列出uc(t)与ur(t)的关系式。（1）写出原始方程式)(d1ddtutiCRitiLr（2）i与uc(t)的关系tiCtucd1)(（3）消去i，得)()(d)(dd)(d22tututtuRCttuLCrccc)()(d)(dd)(d22221tututtuTttuTTrccc或式中T1=L/R，T2=RC为该电路的两个时间常数i是中间变量ttuCicd)(d或建模举例2弹簧—质量—阻尼器系统输入——f(t)输出——y(t)（1）列出原始方程式。要求写出系统在外力f(t)作用下的运动方程式2221dd)()()(tyMtftftf阻尼器阻力弹簧力（2）消去中间变量ttyBtfd)(d)(1B——阻尼系数f2(t)=Ky(t)K——弹性系数)()(d)(dd)(d22tftKyttyBttyM（3）代入上式并整理——线性定常二阶微分方程式建模举例3电枢控制的直流电动机原理图和结构图如下：（1）列写原始方程式。电枢回路方程式：输入：控制量—电枢电压ua，扰动—负载转矩ML变化输出（被控量）：—角位移q或角速度w，aeaaaauKiRtiLwdd式中La——电枢回路总电感(亨)；Ra——电枢回路总电阻(欧)；Ke——电势系数(伏/弧度/秒)；w——电动机角速度(弧度/秒)；ua——电枢电压(伏)；ia—电枢电流(安)。根据刚体旋转定律，写出运动方程式dLMMtJddw式中J——转动部分转动惯量(公斤·米2)；ML——电动机轴上负载转矩(牛顿·米)；Md—电动机转矩(牛顿·米)。（2）Md和ia是中间变量。电动机转矩与电枢电流成正比，有amdiKMKm—电动机转矩系数(牛顿·米/安)。联立求解，整理后得tMKKLMKKRuKtKKJRtKKJLLmeaLmeaaemeameadd1dddd22（续上页）若输出为电动机的转角q，则有tMJTTMJTuKttTtTTLmaLmaemmadd1dddddd2233qqq——三阶线性定常微分方程meamKKJRT——机电时间常数，(秒)aaaRLT—电动机电枢回路时间常数，一般比Tm小，(秒)tMKKLMKKRuKtKKJRtKKJLLmeaLmeaaemeameadd1dddd22=常数，气隙磁通F(t)Kfif(t)，励磁回路电感Lf=常数。（1）激磁回路方程式tiRufffdduf——励磁电压(伏)；if——励磁电流(安)；Rf——励磁回路电阻(欧)；—励磁绕组磁链(韦)。（2）电机转矩Md克服系统惯性和负载的阻尼摩擦，有dMBtJwwddJ——转动部分转动惯量；B—阻尼摩擦系数。（3）消去中间变量,Md∵ffiLfiffmmdiKiKKKMΦffiffffuBRKtBJRLtBJRL)(dd22fdmfmfuKtTTtTT)(dd22∴或Tf—励磁回路时间常数(秒),；Tm——惯性和阻尼摩擦时间常数(秒),；Kd——电动机传递系数，。fffRLTBJTmBRKKfid建模举例5热力系统输入量：控制参数i干扰θi和Q输出量：q0（1）按能量守恒定律socitt——供给水箱中水的热流量(瓦特)；0——出水带走的热流量(瓦特)；c——进水带入的热流量(瓦特)；s—通过热绝缘耗散的热流量(瓦特)。（2）找出中间变量tCtdd0qC——水箱中水的热容量(焦耳/℃）；q0——水箱中水的温度(℃)。00qpQCQ——出水流量(公斤/秒)；Cp——水的比热(焦耳/公斤·℃)。Risqq0R——由水箱内壁通过热绝缘扩散到周围环境的等效热值(℃/瓦特)。（3）代入热平衡方程ipipRQCRQCtCqqq)1()1(dd00或ipipRQCRRQCtTqqq)1()1(dd00T=RC为热时间常数(秒)。——一阶非线性微分方程式当Q一定，qi也为常值时，系统为一阶线性定常微分方程ipRRQCtTqq)(dd1ipcQCq建模举例6流体过程输入__qi输出__h（1）根据物质守恒定律得：qqtSiddha为节流阀的流量系数(米2.5/秒)（3）消去中间变量q，得iqhthSadd——一阶非线性微分方程式S——液罐截面积(米2)；h——液面高度(米)；（2）按流量公式可得hqa•增量化数学模型：将输入输出参数都用增量来表示的数学模型。非线性方程的线性化例如热力系统数模：ipiopoRQCRRQCtTqqq)1()1(dd静态时：φi、θi都不变，并等于额定值，则θo就等于给定值。从而0ddtoq对象φiθoθi设Q=常量iiiiiioooqqqqqq000,,其中，000)1()1(ipiopRQCRRQCqq输入与输出关系式为：—平衡状态)(xfy（1）单变量非线性方程的线性化将在平衡点P(x0,y0)附近展成泰勒级数，即)(xfy200000)(!2)())(()(xxxfxxxfxfyxxx0在平衡点，00)(yxf2000!2)()(xxfxxfyy忽略二次以上高阶无穷小xxfy)(0（接上页）)(2,1xxfy（2）具有两个自变量非线性方程的线性化设在平衡点(x10,x20)处的各阶偏导数都具有有限值，略去二次以上高阶无穷小，)()(),(2022101120100202101202101xxxfxxxfxxfyyyxxxxxxxx或2211202101202101xxfxxfyxxxxxxxx（接上页）线性化举例iqhthSadd试将流体过程数学模型线性化，即将线性化，并写出增量化数学模型。hqa过工作点(h0,q0)作一切线代替原曲线，切线斜率K。02|)(|00hdhhddhdqKhhhhaaRhhhhKq02a称为液阻~20ahR由qqtSiddh增量化，得qqdthdSiRhqdthdSiiqRhdthdRS整理，得§2-3控制系统的传递函数2.3.1传递函数的概念RC电路如下：)()()(tututRircttiCtucd)(1)(消去中间变量i(t)，得)()(d)(dtututtuRCrcc)()()()(sUsURCusRCsUrccc0进行拉氏变换：求出Uc(s)的表达式：)(1)(11)(0crcuRCsRCsURCssU若uc(0)=0)(11)(sURCssUrc或1111)()()(TsRCssUsUsGrc式中T=RC传递函数的定义传递函数:线性(或线性化)定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。若线性定常系统由下述n阶微分方程描述：)()(dd)(dd)(dd)()(dd)(dd)(dd0111101111trbtrtbtrtbtrtbtcatctatctatctammmmmmnnnnnn令C(s)=L[c(t)]R(s)=L[r(t)][ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0]C(s)=[bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0]R(s))()()()()(01110111sDsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm设初始条件为零拉氏变换，得到s的代数方程M(s)为传递函数的分子多项式D(s)为传递函数的分母多项式。基于复阻抗的电路系统建模方法RC电路如下：11()()()11crrscUsUsUsRCsRsC电阻阻抗：R电容复阻抗：11jCsCw电感复阻抗：jLsLw由图可得：()1()()1crUsGsUsRCs()()()ccrRCsUsUsUs()()()ccrRCututut可得传递函数：既有：取拉氏反变换得系统微分方程：2.3.2传递函数的性质1.传递函数是复变量s的有理真分式函数，一般m≤n，且所有系数均为实数。2.传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用及初始条件无关。3.传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，它们表征了系统的动态性能。)())(()())(()()()(2121nmpspspszszszsksRsCsG例如：-z1,…,-zm——传递函数的零点，m个-p1,…,-pn——传递函数的极点，n个4.令s=0，则称为传递系数，或静态放大系数。00)0(abG5.一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。6一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。2.3.3典型环节及其传递函数（1）比例环节G(s)=K表明输出量与输入量成正比。例如：无弹性变形的杠杆、不计非线性和惯性的电子放大器、测速发电机都可认为是比例环节。（2）惯性环节1)(TsKsG式中K——环节的比例系数T——环节的时间常数当输入为单位阶跃函数时，输出量将按指数曲线上升，具有惯性。（3）积分环节TssG1)(积分控制器。积分时间常数为RC。当输入为1(t)时，输出为t/T，随时间直线增长。（4）微分环节G(s)=Ts（理想微分环节）1)(21sTsTsG（实际微分环节）测速发电机微分器(理想)实际微分环节（5）比例—微分环节)1()(TsKsGc（6）振荡环节222222121)(nnnsssTsTsGwww式中：wn——无阻尼自然振荡频率，wn=1/T；—阻尼比，0＜＜1。单位阶跃函数作用下的响应曲线:sesG)(c(t)=r(t－)延滞环节的传递函数:拉式变换（7）延滞环节sesG)(延滞环节是线性环节，为延滞时间。具有延滞环节的系统叫做延滞系统。()000()()d()d()d()ststssCsctetrtetreeRs