2016年上海市普通高中学业水平考试数学试卷

12016年上海市普通高中学业水平考试数学试卷考生注意：1.本试卷共4页，29道试题，满分120分，考试时间90分钟。2.本考试分设试卷和答题纸。试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择题，第三大题为解答题。3.答卷前，务必在答题纸上填写姓名、报名号（春考考生填写春考报名号）、考场号、座位号，并将核对后的条形码贴在指定位置上。4.作答必须涂或写在答题纸上。在试卷上作答一律不得分。第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1.复数34i（i为虚数单位）的实部是_____________.2.若2log(1)3x，则x____________.3.直线1yx与直线2y的夹角为_____________.4.函数()2fxx的定义域为______________.5.三阶行列式135400121中，元素5的代数余子式的值为________________.6.函数1()fxax的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a______________.7.在ABC中，若30A，45B，6BC，则AC_______________.8.4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为______________（结果用数值表示）.9.无穷等比数列{}na的首项为2，公比为13，则{}na的各项的和为_____________.10.若2i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程250xax的一个虚根，则a_____________.11.函数221yxx在区间[0,]m上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围是_________________.212.在平面直角坐标系xOy中，点,AB是圆22650xyx上的两个动点，且满足||23AB，则||OAOB的最小值为_______________.二、选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得0分.13.满足sin0且tan0的角属于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限14.半径为1的球的表面积为（）（A）（B）43（C）2（D）415.在6(1)x的二项展开式中，2x项的系数为（）（A）2（B）6（C）15（D）2016.幂函数2yx的大致图像是（）17.已知向量(1,0)a，(1,2)b，则向量b在向量a方向上的投影为（）（A）1（B）2（C）(1,0)（D）(0,2)18.设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（）（A）直线l平行于直线m（B）直线l与直线m异面（C）直线l与直线m没有公共点（D）直线l与直线m不垂直19.在用数学归纳法证明等式212322nnn*(N)n的第(ii)步中，假设nk时原等式成立，那么在1nk时，需要证明的等式为（）（A）2212322(1)22(1)(1)kkkkkk（B）212322(1)2(1)(1)kkkk（C）221232212(1)22(1)(1)kkkkkkk（D）21232212(1)2(1)(1)kkkkky()AO1x1y()CO1x1y()DO1x1y()BO1x1320.关于双曲线221164xy与221164yx的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）（A）焦距相等，渐近线相同（B）焦距相等，渐近线不相同（C）焦距不相等，渐近线相同（D）焦距不相等，渐近线不相同21.设函数()yfx的定义域为R，则“(0)0f”是“()yfx为奇函数”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件22.下列关于实数ab、的不等式中，不恒成立的是（）（A）222abab（B）222abab（C）22abab（D）22abab23.设单位向量1e与2e既不平行也不垂直，对非零向量1112axeye、2122bxeye有结论：○1若12210xyxy，则//ab；○2若12120xxyy，则ab.关于以上两个结论，正确的判断是（）（A）○1成立，○2不成立（B）○1不成立，○2成立（C）○1成立，○2成立（D）○1不成立，○2不成立24.对于椭圆22(,)22:1(,0,)abxyCababab.若点00(,)xy满足2200221xyab.则称该点在椭圆(,)abC内，在平面直角坐标系中，若点A在过点(2,1)的任意椭圆(,)abC内或椭圆(,)abC上，则满足条件的点A构成的图形为（）（A）三角形及其内部（B）矩形及其内部（C）圆及其内部（D）椭圆及其内部三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题.解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.25.（本题满分8分）如图，已知正三棱柱111ABCABC的体积为93，底面边长为3，求异面直线1BC与AC所成的角的大小.426.（本题满分8分）已知函数()sin3cosfxxx，求()fx的最小正周期及最大值，并指出()fx取得最大值时x的值.27.（本题满分8分）如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处.已知灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离.28.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.已知数列{}na是公差为2的等差数列.(1)若134,,aaa成等比数列，求1a的值；(2)设119a，数列na的前n项和为nS.数列nb满足1111,2nnnbbb.记12nnnncSb*()nN，求数列{}nc的最小项0nc（即0nncc对任意*nN成立）.29.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分.对于函数(),()fxgx，记集合{|()()}fgDxfxgx.（1）设()2||fxx，()3gxx，求fgD；（2）设1()1fxx，21()()313xxfxa，()0hx.如果12RfhfhDD，求实数a的取值范围.FO10cm24cm52016年上海市普通高中学业水平考试数学试卷答案要点一、（第1题至第12题）1.3；2.7；3.4;4.2,;5.8;6.17.23;8.24;9.3;10.4;11.1,2；12.4.二、（第13题至第24题）题号131415161718192021222324代号BDCCACDBBDAB三、（第25题至第29题）25.[解]设正三棱柱的高为h，则111ABCABCABCVSh.由39394h，得4h.因为11//ACAC，所以1BC与AC所成的角等于1BC与11AC所成的角.联结1AB.在111ABC中，2211111553ABAAABBCAC，，，由222111111111925253cos223510ACBCABACBACBC，得113arccos10ACB.故异面直线1BC与AC与所成的角的大小为3arccos10.26.[解]由已知得2sin3fxx，从而fx的最小正周期为2，fx的最大值为2，此时2(Z)6xkk.27.[解]以反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点O为原点，建立平面直角坐标系xOy，如图.设抛物线的方程为2=20ypxp.yAFxO10cm24cm6由题设，得点A的坐标为10,12.因为A在抛物线上，所以212210p，得365p，从而抛物线焦点F的坐标为3.6,0，即灯泡与反射镜顶点的距离为3.6cm.28.[解]（1）由已知，22143111,(6)(4)aaaaaa，解得18a.（2）因为112nnnbb，所以2n时，121321()()()nnnbbbbbbbb2111111122222nn.又11b，所以1*12,N2nnbn.119a时220nSnn.12*22021,NnnnnncSbnnn.2121(1)20(1)21(2021)2192nnnnnccnnnnn.当4n时，10nncc；当13n时，10nncc.因此，数列nc的最小项449c.29.[解]（1）易知fx与gx的定义域均为R，2||3fgDxxx.当0x时，由2||3xx，得23xx，解得3x，所以3x；当0x时，由2||3xx，得23xx，解得1x，所以1x.因此，,13,fgD.（2）1101,fhDxx，213103xxfhDxa.由12fhfhDDR，可知，1，2fhD,所以13103xxa对于1x恒成立，7即1193xxa对于1x恒成立，令11(),193xxTxx由于19xy与13xy在1，上单调递减，所以当1x时，1111493939xxTx，当且仅当1x时等号成立，因此，min49Tx，从而49a，即49a.所以，实数a的取值范围是4,9.