84通信网基础(2)――通信信源模型

信息工程学院信息论教研室BUPTInfformationnTheory第二章通信信源模&Techno第二章通信信源模型和M/M/1排队系统ologyEdu型和M/M/1排队系统ucation&cnl.sie.bupt.cnResearchcnl.sie.bupt.cnhCenterBUPTInfSiméonDenisPoissonformationSiméonDenisPoissonnTheory&•Born:6/21/1781-Pithiviers,France&TechnoPithiviers,France•Died:4/25/1840-SceauxFranceologyEduSceaux,France•“Lifeisgoodforonlyhidiiucation&twothings:discoveringmathematicsand”Researchteachingmathematics.”hCenter2009年3月cnl.sie.bupt.cn2BUPTInfSiméonDenisPoissonformationSiméonDenisPoissonnTheory&•Poisson’sfatheroriginallywantedhimtobecomeadoctor.Afterabriefapprenticeshipwithanuncle,&TechnopppPoissonrealizedhedidnotwanttobeadoctor.•AftertheFrenchRevolution,moreopportunitiesologyEduppbecameavailableforPoisson,whosefamilywasnotpartofthenobility.Éucation&•PoissonwenttotheÉcoleCentraleandlatertheÉcolePolytechniqueinParis,whereheexcelledinhidihihlflResearchmathematics,despitehavingmuchlessformaleducationthanhispeers.hCenter2009年3月cnl.sie.bupt.cn3BUPTInfPoisson’seducationandworkformationPoissonseducationandworknTheory&•PoissonimpressedhisteachersLaplaceandLagrangewithhisabilities.É&Techno•Unfortunately,theÉcolePolytechniquespecializedingeometry,andPoissoncouldnotdrawdiagramswell.•HoweverhisfinalpaperonthetheoryofequationswassoologyEdu•However,hisfinalpaperonthetheoryofequationswassogoodhewasallowedtograduatewithouttakingthefinalexamination.ucation&•Aftergraduating,PoissonreceivedhisfirstteachingpositionattheÉcolePolytechniqueinParis,whichrarelyhappened.PididtfhikdidtilResearch•Poissondidmostofhisworkonordinaryandpartialdifferentialequations.Healsoworkedonproblemsinvolvingphysicaltopics,suchaspendulumsandsound.hCenter2009年3月cnl.sie.bupt.cn4gpyp,pBUPTInfPoisson’saccomplishmentsformationPoissonsaccomplishmentsnTheory&•Hehasmanymathematicalandscientifictoolsnamedforhim,includingPoisson'sintegral,Poisson'sequationin&Technopotentialtheory,Poissonbracketsindifferentialequations,Poisson'sratioinelasticity,andPoisson'sconstantinelectricity.ologyEduelectricity.•HefirstpublishedhisPoissondistributionin1837inRecherchessurlaprobabilitédesjugementsenmatièreèucation&criminelleetmatièrecivile.ResearchhCenter2009年3月cnl.sie.bupt.cn5BUPTInf2.1泊松过程formation•2.1.1Poisson过程nTheory&2.1.1Poisson过程•下面通过描述到达电话交换机的呼叫流来引入Pi过程&Techno来引入Poisson过程。ologyEdu到达交换机的电话呼叫流或顾客在定ucation&•到达交换机的电话呼叫流或顾客在一定条件下满足下面几个条件：ResearchhCenter2009年3月cnl.sie.bupt.cn6BUPTInfPoisson过程定义formation•（1）平稳性:在区间内有k个呼叫到来,aatnTheory&的概率与起点a无关，只与时间区间的长度有关，这个概率记为(,)()kkpaatpt&Techno•（2）无后效性：不相交区间内到达的呼叫数是相互独立的；ologyEdu•（3）普通性:令表示长度为t的区间内至少到达两个呼叫的概率，则)(tucation&到达两个呼叫的概率，则（4）有限性在任意有限区间内到达有限个()()tot0tResearch•（4）有限性：在任意有限区间内到达有限个呼叫的概率为1，即()1kpthCenter2009年3月cnl.sie.bupt.cn70kBUPTInfPoisson过程定义formationnTheory&•这种输入过程容易处理，并且应用广泛，&Techno被称为Poisson过程。ologyEdu•下面定理2-1描述了Poisson过程的特点，并计算了在长度为的时间内到ucation&并且（2-1）计算了在长度为t的时间内到达k个呼叫的概率。ResearchhCenter2009年3月cnl.sie.bupt.cn8BUPTInf定理2-1formation•定理2-1对于Poisson呼叫流，长度为t的nTheory&定理21对于Poisson呼叫流，长度为t的时间内到达k个呼叫的概率服从Poisson分布即)(tPk&TechnoPoisson分布，即k)(ologyEdu•（2-1）etkkkttp!)()(0,1,2,kucation&•其中0为一常数，表示了平均到达率或ResearchPoisson呼叫流的强度。hCenter2009年3月cnl.sie.bupt.cn9BUPTInf定理2-1：证明formation•思路：nTheory&思路：–由Poisson流的平稳性，求出p0(t)；将[0t)划分为等分求(t)&Techno–将[0,t)划分为n等分，求pk(t)；ologyEdu–关键步骤说明ucation&–可用于证明一个流是泊松流！--〉性质2.1ResearchhCenter2009年3月cnl.sie.bupt.cn10BUPTInf平均呼叫数formation•在参数t固定的情况下,如果用表达内到达的)(tNt,0nTheory&在参数固定的情况下,如果用表内到的呼叫数,那么到达的平均呼叫数为,()ENt()kt&Techno()ENt1()kkkpt()ktologyEdu1()!tktkekucation&11()(1)!tkketktResearch1()kttteehCenter2009年3月cnl.sie.bupt.cn11tBUPTInfPoisson分布的方差formation例21计算的方差)(NnTheory&()()012ktttk例2-1：计算的方差。)(tN&Techno()(),0,1,2,,!tkptekkologyEdu22222[()][()]([()])[()]()[()]VarNtENtENtENttENtucation&[()]...ENtResearchhCenter2009年3月cnl.sie.bupt.cn12BUPTInfPoisson分布的方差formationnTheory&01222)()()]([kkkktpktpktNE11(1())()kkkkkpkktpt&Techno2)()1(kkttpkk2()ktologyEdu22(2)!))((tkttetktt2)(ucation&tt2)(22Research22()()()VarNtENttthCenter2009年3月cnl.sie.bupt.cn13BUPTInfPoisson过程用途formation•Poisson过程是一个很简单的随机过程，nTheory&有许多良好的性质，在一定条件下将被用来模拟到达网络节点的电话呼叫流或&Techno用来模拟到达网络节点的电话呼叫流或数据包流，模拟到达网络的各种信源。Pi过程在任何时间区间内的到达率ologyEdu•Poisson过程在任何时间区间内的到达率都是一样，如果到达率随着时间变化，ucation&在习题2.9中有一个广义Poisson过程，它的到达率可以随着时间变化。Research的到达率可以随着时间变化。hCenter2009年3月cnl.sie.bupt.cn14BUPTInfPoisson过程的性质（2-1）formation•性质2-1：m个Poisson流的参数分别为并且它们是相独立nTheory&为，，……，，并且它们是相互独立的，合并流仍然为Poisson流，且参数12m&Techno为。•证明：下面仅仅考虑的情形。m212mologyEdu证明：下面仅仅考虑的情形。•表示内第一个流到达的呼叫数，表示内第二个流到达的呼叫数)(1tN),0t)(Nucation&表示内第二个流到达的呼叫数，表示内到达的合并流的)(2tN),0t)()()(21tNtNtN),0tResearch呼叫数•为说明服从Poisson流，只需证)(tNhCenter2009年3月cnl.sie.bupt.cn15为说明服从Poisson流，只需证1212()(){()}!kttPNtkekBUPTInfPoisson过程的性质（2-1）formationkjktNjtNPktNP21})(,)({})({nTheory&jjj021})(,)({})({120{()}{()}kjPNtjPNtkj&Techno0jtjkkjtjejktejt21)!()(!)(201ologyEdujjkj)!(!0kjjkjtjktjte021)()!()(!)(21ucation&jjj0)(1212()0!()()!()!!kjtkjjktektjkj