1.2独立性检验的基本思想及其初步应用(收藏)

1、两个相关的概念对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量，也称为属性变量或定性变量，它们的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别。（1）分类变量：定量变量的取值一定是实数，它们的取值大小有特定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义。（2）定量变量：例如身高、体重、考试成绩等，张明的身高是180cm，李立的身高是175cm，说明张明比李立高180-175=5（cm）。研究两个变量的相关关系：本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们常常关心分类变量的之间是否有关系独立性检验2定量变量——回归分析（画散点图、相关系数r、变量相关指数R、残差分析）分类变量——独立性检验吸烟与肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）列联表在不吸烟者中患肺癌的比重是在吸烟者中患肺癌的比重是说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大0.54%2.28%与表格相比,等高条形图能更直观地反映出相关数据的总体状况。0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%不吸烟吸烟患肺癌不患肺癌通过图形直观判断两个分类变量是否相关：患肺癌比例不患肺癌比例等高条形图独立性检验H0：吸烟和患肺癌之间没有关系←→H1：吸烟和患肺癌之间有关系通过数据和图表分析，得到结论是：吸烟与患肺癌有关结论的可靠程度如何？吸烟与肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d:例吸烟者中不患肺癌的比:比例不吸烟者中不患肺癌的dccbaa如果“吸烟与患肺癌没有关系”，则在吸烟者中不患肺癌的比例应该与不吸烟样本中相应的比例应差不多，即|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强.22n（ad-bc）K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)引入一个随机变量可作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准。独立性检验吸烟与肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965通过公式计算2242209956.63278172148987491K9965(777549）在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率：2(6.635)0.01PK也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01，是一个小概率事件.现在K2的观测值为56.632，远远大于6.635，所以有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”56.632k但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”.独立性检验的基本思想：(类似于数学上的反证法，对“两个分类变量有关系”这一结论成立可信程度的判断)：（1）假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立.（2）在假设条件下，计算构造的随机变量K2，如果由观测数据计算得到的K2很大，则在一定程度上说明假设不合理.（3）根据随机变量K2的含义，可以通过（2）式评价假设不合理的程度，由实际计算出的k6.635，说明假设不合理的程度约为99%，即“两个分类有关系”这一结论成立的可信程度约为99%.利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，能较精确地给出这种判断的可靠程度.具体作法是：（1）根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；（2）由观测数据计算得到随机变量K2的观测值k；（3）如果k6.635，就以1-P(K2≥6.635)×100%的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据.10.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.445k0.0010.0050.0100.0250.050.100.150.50.400.502()PKk（1）如果k10.828，就有99.9%的把握认为“X与Y有关系”；（2）如果k7.879，就有99.5%的把握认为“X与Y有关系”；（3）如果k6.635，就有99%的把握认为“X与Y有关系”；（4）如果k5.024，就有97.5%的把握认为“X与Y有关系”；（5）如果k3.841，就有95%的把握认为“X与Y有关系”；（6）如果k2.706，就有90%的把握认为“X与Y有关系”；（7）如果k=2.706，就认为没有充分的证据显示“X与Y有关系”.临界值例1.秃头与患心脏病在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系。能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为秃顶与患心脏病有关系？解：根据题目所给数据得到如下列联表1-13：患心脏病不患心脏病总计秃顶214175389不秃顶4515971048总计6657721437根据联表1-13中的数据，得到221437(214597175451)16.3736.635.3891048665772K所以有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”。思考：例1的结论是否适用于普通的对象？在掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，就可以模仿例1中的计算解决实际问题，而没有必要画相应的图形。图形可帮助向非专业人士解释所得结果；也可以帮助我们判断所得结果是否合理例1这组数据来自住院的病人，因此所得到的结论适合住院的病人群体．例2的结论只适合被调查的学校。大家要注意统计结果的适用范围（这由样本的代表性所决定）独立性检验基本的思想类似反证法(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.(2)在此假设下随机变量K2应该很小,如果由观测数据计算得到K2的观测值k很大,则在一定程度上说明假设不合理.(3)根据随机变量K2的含义,可以通过评价该假设不合理的程度,由实际计算出的,说明假设合理的程度为99.9%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为99.9%.难点：1.了解独立性检验的基本思想2.了解随机变量的含义重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤