《名师伴你行》人教A版函数学案一 指数与指数幂的运算

开始学点一学点二学点三学点四1.正整数指数幂：一个数a的n次幂等于n个a的乘积，记作an.它的运算性质：am·an=；am÷an=(a≠0,mn)；(am)n=;(ab)n=;=(a≠0).2.n次方根的定义:如果xn=a,那么x叫做(其中n1,且n∈N*).3.根式:形如的式子叫做根式,这里n叫做,叫做被开方数.4.根式的性质:(1)=;(2)=;（3）当n为偶数时，=；当n为奇数时，.nba)(0nannnannaaam+nam-namnanbnnnbaa的n次方根0nna根指数a±annaa返回5.乘方与开方:求a的n次幂的运算叫做乘方运算;求a的n次方根的运算叫做开方运算;乘方运算与开方运算互为.6.整数指数幂:（1）一个实数的正整数指数幂的意义是an=a·a·…·a(n个a∈R,n∈N*，且n≥1).（2）一个非零实数的零次幂的意义是(a≠0),但00没有意义.（3）一个非零实数的负整数指数幂的意义是(a≠0,n∈N*,n≥1),但0-n(n∈N*)没有意义.7.分数指数幂:（1）正数的正分数指数幂的意义是(a0,m,n∈N*，且n1).10annaa1nmnmaa逆运算返回（2）正数的负分数指数幂的意义是(a0,m,n∈N*,且n1).（3）0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.8.有理指数幂的运算性质:如果a0,b0,r,s∈Q,那么ar·as=;(ar)s=;(ab)r=.9.根式的运算,可以先把根式化成分数指数幂,然后利用的运算性质进行运算.10.无理指数幂的含义:如,它是一个确定的实数,可以看成由以的一串不足近似值和相应的一串过剩近似值为指数的有理指数幂的值的结果.32nmaanm1srarsarrba30没有意义有理数指数幂从两边无限逼近返回学点一根式运算求下列各式的值:(1);(2);(3)；（4）;432981435)12525(1075325555313373329aaaa返回【分析】将根式化成分数指数幂的形式,利用分数指数幂运算性质计算是根式运算中经常采用的方法.【解析】(1)原式=［34×(3)］=()=3==.(2)原式=(5-5)÷5=5÷5-5÷5=5-5=5-5=.(3)原式=.3421413243413146736333223413241413241324123125454512555510721532107215322555555541返回【评析】根式的运算一般化为分数指数幂的形式,由分数指数幂运算公式化简求值.(4)原式=.10613636769613672169aaaaaa返回化简下列各式:(1);(2)(a0,b0);(3);(4).42)4(332baabba6322)497025(baba369223bbaba返回x1x181872141472143231412122143412123241321322121332ba)b(a)b(a)baabba(21)ba()ab(ba)ba(abba原式2π44)(π(1)原1427b5a7b)(5a(3)原366724195244135324726123312127222336292223ba)b(aba)b(ababbaba(4)原4返回计算下列各式：(1);(2);(3).48373)27102(1.0)972(03225.02175.034303101.016)2()87()064.0(012132)32()25(10)002.0()833(返回学点二分数指数幂的运算【分析】负化正，大化小，根式化分数指数幂，小数化分数，是简化运算的常用技巧.(1)原式=(2)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1=++.100483731691003548373)2764(0.11)925(32221814310181141016191671205105109412)510((500))827(12510)5001()83(31)(32132213232原式返回【评析】一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.计算下列各式：（1）;(2);(3).4333333916243375.013432041)3001()32(10)2()37(2)0625.0(5.0212001.0)412(2)532(返回【解析】（1）原式=7×3-3×(3×23)-2×3×(3-2)+(3×)=7×3-3×3×2-2×3×3+(3)=7×3-6×3-2×3+3=0.（2）原式=［(0.5)4］-(-2×1)2×(-2)4+-(3×102)==2-64+20+10-10=-42.(3)原式=.3131313134131213234413131313141321021310)32(102)21(61151110161110132411)1001()94(411212133返回学点三求值问题已知a+a=3，求下列各式的值：（1）a+a-1;(2)a2+a;(3).2212121212323aaaa【分析】从已知条件中解出a的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件a+a=3的联系，进而整体代入求值.2121返回【评析】对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.【解析】（1）将a+a=3两边平方，得a+a-1+2=9,即a+a-1=7.（2）将上式平方，有a2+a-2+2=49.∴a2+a-2=47.（3）由于a-a=(a)3-(a)3,∴=a+a-1+1=7+1=8.2321212123212121211212121212323))((aaaaaaaaaaaa21返回（1）已知x+x=3,求的值；（2）已知2a+2-a=3,求8a+8-a；（3）已知a2x=+1,求的值.212132232322xxxx2xxxxaaaa33返回（1）由x+x=3得x+x-1+2=9,即x+x-1=7.∴x2+x-2+2=49,则x2+x-2-2=45.又∵x+x-3=(x+x)(x+x-1-1)-3=3×(7-1)-3=15,∴=3.（2）8a+8-a=(2a)3+(2-a)3=(2a+2-a)(22a+2-2a-1)=3［(2a+2-a)2-3］=3(32-3)=18.21212121232332232322xxxx返回（3）=a2x+a-2x-1=+1+-1=+1+-1-1=2-1.2121222xxxx2x2xxx3x3xaa)a1)(aa(aaaaa返回学点四化简化简下列各式：（1）(x-1+x+x0)(x–x);（2）2121).a-1)(aa(a)a-)(aa(a1-4-4-33-33【分析】抓住题中各式的结构特点，可分别用立方差和立方和公式化简.返回【解析】（1）原式=.（2）原式2323321321)()(xxxx))(1)()())(1()()(14432321442323aaaaaaaaaaaa.aa)()())(1()1()(-112121444422aaaaaaaaaaaa【评析】解题时,要注意从整体上把握代数式的结构特点，先化简,后计算.返回化简下列各式：（1）;（2）;（3）1--1-1(ab)ba88341)nm().b(-3a)b(-6a)b(2a656131212132返回(1)解法一：化去负指数后解.原式=解法二：利用运算性质解.原式=解法三：利用倒数的性质解.原式（2）原式（3）原式=［2×(-6)÷(-3)］=4abaababbaabba1111ababbabbaa1111111111abababbabaabababba011111)()()()()()(3232883841)()(nmnmmm06531216121324abba返回2.在进行指数幂运算时,应注意什么问题?(1)化简要求同初中要求,注意结果形式的统一,即结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既有分母,又含有负分数.(2)一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,化底数为指数等,便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.1.怎样才能更好的学好指数及运算?(1)先复习初中学过的整数指数幂的概念及运算.对于指数幂an,当指数n扩大到有理数时,要注意底数a的变化范围.如当n=0时,底数a≠0;当n为负整数指数时,底数a≠0;当n为分数时,底数a0.(2)学习本学案内容要结合对比法,揭示其内涵与外延及其与旧概念的联系.运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，要掌握解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法.返回1.正整数指数幂的运算性质都是积、商、幂的形式，而不是和、差的形式.防止出现“am+an=am+n”“am-bn=am-n”等错误.２.关于n次方根的定义和性质，可以理解为平方根和立方根的推广,根号也可以认为是由平方根号、立方根号推广而来的.理解n次方根的意义时，要把n按奇偶分类，并且在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数，零的奇次方根是０（类比立方根）;正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，负数的偶次方根没有意义，零的偶次方根是零，即当n为正偶数时，na有意义的条件是a≥0(类比平方根).n3返回３.关于及根式的性质要理解好以下几点：(1)n∈N,且n0.(2)当n为奇数时，对任意a∈R都有意义，并且表示a在实数范围内的唯一的一个n次方根.即()n=a.(3)当n为偶数时，只有当a≥0时才有意义，(a0)表示a在实数范围内的一个正的n次方根，也叫n次算术根，但a还有另一个负的n次方根是-，即(±)n=a.(4)()n与的意义不同.对任意a∈R都有意义，当n为奇数时，=a;当n为偶数时，=|a|=nanananananananannannannanna00aaaa返回4.根式的化简与计算：(1)化简根式的过程类似于化简二次根式.注意运用根式的性质和乘法公式、提取或合并同类根式、分母有理化、并且应化为最简根式.(2)根式的计算应在化简后进行，要结合根式的性质分清奇次根式和偶次根式.当根号不能去掉时，一般保留根号，如果需要去掉根号，可用计算器求出近似值.5.an（n∈Z）的意义，不能简单地理解成n个a相乘，应分清n是正整数、零还是负整数，若n≤0，则a≠0，否则an没有意义.返回6.的意义，不能理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法，在规定=和(a0,m,n∈N,n1)后，根式和分数指数幂可以互化，它们表示相同意义的量.7.an(n∈Q)的意义，应按有理数n分类理解，随着n的范围由正整数范围到整数范围到有理数范围的不断扩大，底数a的范围也在不断地缩小，但对于a0时，an都有意义，对于a=0时，n不能为0、负整数、负分数，否则没有意义.8.有理指数幂的运算性质是积、商、幂的形式.而不是和、差的形式，并且把正整数指数幂的五条运算性质推广到有理指数幂.nmanmnmanmanmnmaa1返回