第2课时 方向角在解直角三角形中的应用

28．2解直角三角形及其应用28．2.2应用举例第2课时方向角在解直角三角形中的应用方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角．右图中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示：60°，45°或，80°，30°.北偏东南偏东东南方向南偏西北偏西1．(6分)如图，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°的方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为()A．103海里/时B．30海里/时C．203海里/时D．303海里/时D2．(8分)如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为()A．20海里B．103海里C．202海里D．30海里C3．(8分)(2015·泰安)如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是()A．20海里B．40海里C.2033海里D.4033海里D4．(8分)如图所示，小明同学在东西方向的沿江大道A处测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东400米的B处测得江中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为米．20035．(10分)钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行0.5小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短．(1)请在图中作出该船在点B处的位置；(2)求钓鱼岛C到B处的距离(结果保留根号)．解：(2)AB＝30×0.5＝15，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝BCAB，所以BC＝AB·tan∠BAC＝AB·tan30°＝15×33＝53(海里)6．(14分)(2015·内江)我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向，N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区(如图)，问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：过点P作PD⊥MN于D，∴MD＝PD·cot45°＝PD，ND＝PD·cot30°＝3PD，∵MD＋ND＝MN＝2，即3PD＋PD＝2，∴PD＝23＋1＝3－1≈1.73－1＝0.73＞0.6.答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁7．(15分)(2015·泸州)如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)解：过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP＝x海里，在Rt△APC中，∵∠APC＝90°，∠PAC＝30°，∴tan∠PAC＝CPAP，∴CP＝AP·tan∠PAC＝33x，在Rt△APB中，∵∠APB＝90°，∠PAB＝45°，∴BP＝AP＝x，∵PC＋BP＝BC＝30×12，∴33x＋x＝15，解得x＝15（3－3）3，∴PB＝x＝15（3－3）2，∴航行时间15（3－3）2÷30＝3－34(小时)．答：该渔船从B处开始航行3－34小时，离观测点A的距离最近8．(15分)海中两个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值)解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，过C作CN垂直CD交AB于点N，则∠FAD＝60°，∠FAC＝∠FCA＝45°，∠BCN＝30°，∠ADF＝30°，∴AF＝FC＝AN＝NC，设AF＝FC＝x，∴tan30°＝AFFD＝xx＋30＝33，解得：x＝15(3＋1)，∵tan30°＝BNNC，∴BN15（3＋1）＝33，解得：BN＝15＋53，∴AB＝AN＋BN＝15(3＋1)＋15＋53＝30＋203，答：灯塔A，B间的距离为(30＋203)海里【综合运用】9．(16分)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(3＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)．(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：(1)过C作CE⊥AB，由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，在Rt△AEC中，CE＝AE·tan60°＝3x；在Rt△BCE中，BE＝CE＝3x.∴AE＋BE＝x＋3x＝100(3＋1)，解得：x＝100，AC＝2x＝200，在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝3y，∴AC＝y＋3y＝200，解得：y＝100(3－1)，∴AD＝2y＝200(3－1)(2)由(1)可知，DF＝3AF＝3×100(3－1)≈127，∵127＞100，所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险