高数数列的极限

1第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节数列的极限2这个概念贯串着整个数学分析，并在数学的其它领域中起重要作用。因数学分析的其它基本概念可用极限概念来表达。微分、积分都可用极限运算来描述。掌握极限的概念和运算很重要。极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。变量的变化有各种各样的情况，有一类变量是经常遇到，这就是它在变化的过程中逐步趋向于相对也就是说它在变化的过程中无限的接近于某一确定的常数。极限概念前言稳定的状态。极限概念是高等数学中最基本的概念，3“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”播放——刘徽,,,,,nAAAA321S正六边形的面积A1正十二边形的面积A2nnA边形的面积正126R1、割圆术：一、数列41、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽概念的引入51、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽概念的引入6“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入7“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入8“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入9“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入10“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入11“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入12“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽概念的引入13之半，如此分割下去问：共去棒长多少？解：01214181把所去之半排列起来：21221321n21此是公比为的等比数列引例2：第一次去其一半，第二次再去所余“一尺之棰，日截其半，万世不竭”021n一尺之棰，21q共去棰长nns2121212211)211(21n1n211n1(1)1naqq21111nnSaaqaqaq14等比数列的前n项和的公式设等比数列等比数列的前n项之和，上式两边同时乘以q有：上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：)1(112111nnqaqaqaaSnnqaaSq11)1()2(131211nnqaqaqaqaqSqqaSnn1)1(11q当时211111,,,,,naaqaqaq151、数列的定义依次排列的一列无穷多个数：,,,3,2,1nxxxx称为数列，其中每一个数称为数列的项，第n项xn称为数列的一般项（或通项），下标),2,1(nn称为数列的项数。nx或),2,1(nxn按照一定的法则，定义1数列简记为16可看作一动点在数轴上依次取nxxxx,3,2,11x4x3x2xnx数列对应着数轴上一个点列，数列是整标函数nnx2如,2,1nnfxnx()2,xfxxN172、数列的性质（1）有界性设已知数列nx若存在M0,对于一切n都有Mxn则称数列nx是有界的；否则，若不存在这样的正数M，则称nx是无界的。例如：数列nnnnn12,1,11都是有界的，而数列nn21是无界的。18(2）单调性nxxxx321则称此数列是单调减少的。单调增加或单调减少的数列，统称为单调数列。例如:1nn是单调增加数列;n1是单调减少数列其特点是数列的点作定向移动，单增向右，单减向左。反之若则称此数列是单调增加的；若nx的项xn随着项数n的增大而增大，即满足nxxxx32119数学语言描述:r二、数列极限的定义引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.n如图所示,可知当n无限增大时,无限逼近S(刘徽割圆术),,0,N正整数当nN时,SAn用其内接正n边形的面积总有20引例nxnn11.1111.4nnxnnx2.3n0nx2nxnx11nx在－1与1之间跳动观察可见：nx的变化趋势只有两种：不是无限地接近某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。由此，得到数列极限的初步定义如下：观察下列数列的变化趋势1212.nnnxn(1)2nn21定义2若当n时，一般项无限地接近于某个则称A为数列nx的极限，记作Axnnlim或)(nAxn（读作n趋向无穷大时，nx趋向于A）.若当n时，不接近于任何确定常数A,nx确定的常数A,nxnx则称数列没有极限。2201lim1nnnnnnn112lim而11nnxnnx2无极限我们称有极限的数列为收敛数列，无极限的数列为发散数列。11lim[2]2nnn例如：23例如,,1,,43,32,21nn1nnxn)(1nnnxnn1)1()(1n,2,,8,4,2nnnx2)(n1)1(nnx趋势不定收敛发散24及常数a有下列关系:当nN时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.axan)(Nn即),(axn)(Nnaxnnlim或)(naxn则称该数列的极限为a,若数列为了精确的反映nx接近a的程度与n之间的关系给出定义325为具体的说明几何解释:aa)(1Nx2Nx1Nxaxan)(Nn之间的关系与n考察一般项为212lim1nnnn数列，nnxnn112当n无限增大时xn与2的距离无限的小.21221nnxnnnn11n10当nN时,总有欲使a1x2xnn11226n11n由取1001只要100n即从10001项起以后的所有点nxxxx103102101,,与2的距离小于1001即有2nx1001取100001只要10000n即从101项起以后的所有点nxxx,,1000210001与2的距离小于100001即有2nx100001NN2122nnxnnn11n127主讲教师:王升瑞高等数学第三讲28例1.已知证明数列的极限为1.证:1nx1)1(1nn,0欲使即只要1n因此,取,]1[N则当Nn时,就有1)1(1nn故1)1(limlimnnxnnnn29.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn30.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn31.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn32.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn33.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn34.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn35.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn36.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn37.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn38.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn39.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn40.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn41.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn42例2.已知证明证:0nx2)1(1n11n,)1,0(欲使只要,11n即n取,]11[N则当Nn时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn故也可取][1N也可由2)1(10nnx.11N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取11N43例3.设,1q证明等比数列证:0nx欲使只要即亦即因此,取qNlnln1,则当nN时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0.44231223limnnn证：231223nnaxn0只要1N取成立恒有时当则对2312230nnNn231223limnnn注：1、化简axn（必要时适当地放大）2、用倒推法得到与n有关的一系列不等式的函数）仅是）中不含（（）（,nn例4求证1221n121nn11,n即当1n时，恒有nxa45三、收敛数列的性质证:用反证法.及且.ba取因,limaxnn故存在N1,从而2,abnx同理,因,limbxnn故存在N2,使当nN2时,有1.收敛数列的极限唯一.使当nN1时,假设从而2.abnx23ba22abnabax2banx22abnabbxnbax223ab4623ba22abnabax2banx22abnabbxnbax223ab矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当nN时,,,max21NNN取故假设不真!nx满足的不等式472.收敛数列一定有界.证:设取,1,N则当Nn时,从而有aaxna1取,,,,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.,1axn有数列483.收敛数列的保号性.若且时,有,)0(.)0(证:对a0,取推论:若数列从某项起)0(.)0((用反证法证明)49*********************,axkn4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则,0,N当时,有现取正整数K,使于是当Kk时,有knN从而有由此证明.limaxknk*********************NNx50由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，1lim2kkx发散!则原数列一定发散。说明:51内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限52思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知),2,1(21,111nxxxnn,求nnxlim时,下述作法是否正确?说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对!此处nnxlim