平面及其方程

6.4平面及其方程6.4.1平面方程6.4.2两平面间的夹角6.4.3点到平面的距离一个平面的法向量有无穷多个,它们之间都是相互平行的．6.4.1平面方程如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．设平面的一个法向量),,,(CBAn且平面过点M0(x0,y0,z0).下面建立平面有的方程xyzo0MMn1平面的点法式方程0000(,,)MMxxyyzz000()()()0AxxByyCzz平面的点法式方程平面上任一点M(x,y,z)的坐标都满足上面的方程,而当点M(x,y,z)不在平面上时,点M(x,y,z)的坐标不满足该方程．设M(x,y,z)是平面上的任一点nMM000nMM(6.15)xyzo0MMn例1设一平面过点M0(1,0,–2)平面的法向量为求此平面方程.解根据平面的点法式方程，得所求平面方程为(1)2(0)3(2)0,xyz即2350.xyz(1,2,3),n2平面的一般方程由平面的点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA0)(000CzByAxCzByAx0DCzByAx反之，三元一次方程0DCzByAx表示一平面。这是因为：②①以上两式相减,得平面的点法式方程为平面的一般方程.任取一组满足上述方程的数,,,000zyx则0000DzCyBxA显然方程②与此点法式方程等价,),,(CBAn的平面,此方程称因此方程②的图形是法向量为平面方程的几种特殊情况：(1)D=0,平面通过坐标原点；(2)A=0,平面平行于x轴；(3)A=B=0,平面平行于xoy面或垂直于z轴；(4)A=D=0,平面通过x轴.oxyzAx+By+Cz=0oxyzoBy+Cz+D=0oxyzCz+D=0oxyzBy+Cz=0解12(1,1,3)，MM所求平面方程为化简得例2求过三点1(1,0,1),M2(2,1,2)和M3(1,1,4)M的平面方程.取(6,3,3)，-6(x-1)-3(y-0)+3(z+1)=02x+3y-3z-3=0.13(2,1,3)，MM1213nMMMM例3一平面П过两个点M1(1,-5,1)及M2(3,2,-2),且平行于y轴,求其方程..52DC,53DA解由于所求平面П与y轴平行,故其方程的形式设为Ax+Cz+D=0,因为点M1和M2都在П上,其坐标应当满足П的方程,将这两个点的坐标代入到这个方方程中,得到,A+C+D=0,3A-2C+D=0,解这个方程组,得将这个结果代入到平面方程中,得3x+2z-5=0.3平面的截距式方程设平面与zyx,,三轴分别交于)0,0,(aP、)0,,0(bQ、),0,0(cR（其中0a，0b，0c），求此平面方程.设平面为,0DCzByAx将三点坐标代入得,0,0,0DcCDbBDaA,aDA,bDB.cDC,aDA,bDB,cDC将代入所设方程得1czbyaxxyzo（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,0:11111DzCyBxA,0:22222DzCyBxA),,,(1111CBAn),,,(2222CBAn6.4.2两平面间的夹角11n22n设由两向量夹角余弦公式有121212222222111222||cosAABBCCABCABC特殊的：21)1(;0212121CCBBAA21)2(//.212121CCBBAA例4解由两平面夹角的余弦公式得222222|12(4)211|2cos21(4)1221（）（）（）（）.4因此，所求角求两平面x-4y+z-2=0与2x-2y-z-5=0的夹角.6.4.3点到平面的距离|Pr|01PPjdnNn0P),,(10101001zzyyxxPP1P设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,求P0到平面的距离.在平面上任取P1(x1,y1,z1),则p|||||cos|ndPrjpp||||||.||||||pnpnppnn000222||.AxByCzDdABC于是得到点到平面距离公式由于P1(x1,y1,z1)在平面上,故Ax1+By1+Cz1+D=0pnA(x1x0)+B(y1y0)+C(z1z0)=Ax1+By1+Cz1Ax0By0Cz0=Ax0By0Cz0D例5求点P0(-1,2,3)到平面x+2y-2z-6=0的距离.解由点到平面的距离公式得d222)2(21|63222)1(1|=3求过点)1,1,1(，且垂直于平面7zyx和051223zyx的平面方程.练习1练习2求通过x轴和点)1,3,4(的平面方程.设平面过原点及点)2,3,6(，且与平面824zyx垂直，求此平面方程.练习3练习4121110110.MMxyz一平面通过两点（，，）和（，，）且垂直于平面，求它的方程练习5求平行于平面0566zyx而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.求过点)1,1,1(，且垂直于平面7zyx和051223zyx的平面方程.),1,1,1(1n)12,2,3(2n取法向量21nnn),5,15,10(,0)1(5)1(15)1(10zyx化简得.0632zyx所求平面方程为解练习1练习2求通过x轴和点)1,3,4(的平面方程.解由于平面通过x轴，从而它的法线向量垂直轴，于x于是法线向量在x轴上的投影为零，；即0A又由平面通过x轴，它必须通过原点，.0D于是因此可设这平面的方程为.0CzBy，得代入点)1,3,4(.3BC代入所设方程并除以）（0BB得所求方程为.03zy由平面过点(6,3,2)知设平面过原点及点)2,3,6(，且与平面824zyx垂直，求此平面方程.练习3设平面为,0DCzByAx由平面过原点知D=00236CBA(4,1,2),n420ABC2,3ABC.0322zyx所求平面方程为解于是求平行于平面0566zyx而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.练习4设平面为,1czbyax1,V111,32abc得由所求平面与已知平面平行得,611161cba解oxyzabc,61161cba化简得令tcba611611,6at,1tb,61tc11111666ttt1,6t1,6,1,abc.666zyx所求平面方程为代入体积于是.011011121，求它的方程且垂直于平面），，（）和，，（一平面通过两点zyxMM练习5解设所求平面得一个法线向量为).,,(CBAn20.(1)AC又因所求的平面垂直于已知平面,0zyx所以有0(2)ABC，12(1,0,2)MMn因在所求平面上，它必与垂直，所以有得到、由)2()1(.,2CBCA由平面的点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA可知，所求平面方程为.0)1()1()1(zCyBxA,02）（代入上式，并约去及将CCCBCA.0)1()1()1(2zyx得所以，所求的平面方程为：.02zyx