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【高考调研】2015年高中数学第三章不等式章末测试题(A)新人教版必修5一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出以下四个命题:①若ab,则1a1b;②若ac2bc2,则ab;③若a|b|,则ab;④若ab,则a2b2.其中正确的是()A.②④B.②③C.①②D.①③答案B2.设a,b∈R,若a-|b|0,则下列不等式中正确的是()A.b-a0B.a3+b20C.b+a0D.a2-b20答案C解析由a-|b|0⇒|b|a⇒-aba⇒a+b0,故选C.3.设集合U=R,集合M={x|x1},P={x|x21},则下列关系中正确的是()A.M=PB.PMC.MPD.∁UM∩P=∅答案C4.设集合A={x|x3},B={x|x-1x-40},则A∩B=()A.∅B.(3,4)C.(-2,1)D.(4,+∞)答案B解析∵x-1x-40⇔(x-1)(x-4)0,∴1x4,即B={x|1x4},∴A∩B=(3,4),故选B.5.在下列函数中,最小值是2的是()A.y=x2+2xB.y=x+2x+1(x0)C.y=sinx+cscx,x∈(0,π2)D.y=7x+7-x答案D解析y=x2+2x的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞);y=x+2x+1=x+1+1x+12(x0);y=sinx+cscx=sinx+1sinx2(0sinx1);y=7x+7-x≥2(当且仅当x=0时取等号).6.已知loga(a2+1)loga2a0,则a的取值范围是()A.(0,1)B.(12,1)C.(0,12)D.(1,+∞)答案B7.已知点P(x,y)在不等式组x-2≤0,y-1≤0,x+2y-2≥0表示的平面区域内运动,则z=x-y的取值范围是()A.[-2,-1]B.[-2,1]C.[-1,2]D.[1,2]答案C解析画可行域如图:当直线y=x-z过A点时,zmin=-1.当直线y=x-z过B点时,zmax=2.∴z∈[-1,2].8.不等式(x-2y+1)(x+y-3)0表示的区域为()答案C9.f(x)=ax2+ax-1在R上满足f(x)0,则a的取值范围是()A.(-∞,0]B.(-∞,-4)C.(-4,0)D.(-4,0]答案D10.由x+2y+1≤0,x+y+2≥0,y≥0组成的平面区域的面积为()A.2B.1C.4D.12答案D11.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3答案D12.设a0,b0.若3是3a与3b的等比中项,则1a+1b的最小值为()A.8B.4C.1D.14答案B解析3是3a与3b的等比中项⇒3a·3b=3a+b=3⇒a+b=1,∵a0,b0,∴ab≤a+b2=12⇒ab≤14.∴1a+1b=a+bab=1ab≥114=4.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上)13.点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是________.答案(23,+∞)14.函数y=13-2x-x2的定义域是________.答案{x|-3x1}15.如下图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72dm2(图中阴影部分),上下空白各2dm,左右空白各1dm,则四周空白部分面积的最小值是________dm2.答案56解析设阴影部分的高为xdm,宽为72xdm,则四周空白部分面积是ydm2,由题意,得y=(x+4)(72x+2)-72=8+2(x+144x)≥8+2×2x×144x=56.16.已知当x0时,不等式x2-mx+40恒成立,则实数m的取值范围是________.答案(-∞,4)解析由题意得当x0时,恒有mx+4x成立.设f(x)=x+4x,x0,则有f(x)=x+4x≥2x×4x=4,当且仅当x=4x,即x=2时,等号成立.所以f(x)=x+4x,x0的最小值是4.所以实数m的取值范围是(-∞,4).三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}.(1)若AB,求a的取值范围;(2)若B⊆A,求a的取值范围.答案(1)(2,+∞)(2)[1,2]18.(12分)已知x0,y0,且1x+9y=1,求x+y的最小值.答案16解析因为x0,y0,1x+9y=1,所以x+y=(x+y)(1x+9y)=yx+9xy+10≥2yx·9xy+10=16.当且仅当yx=9xy时,等号成立,又因为1x+9y=1.所以当x=4,y=12时,(x+y)min=16.19.(12分)已知a,b,c都是正数,且a+b+c=1.求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.证明∵a、b、c都是正数,且a+b+c=1,∴1-a=b+c≥2bc0,1-b=a+c≥2ac0,1-c=a+b≥2ab0.∴(1-a)(1-b)(1-c)≥2bc·2ac·2ab=8abc.∴原不等式成立.20.(12分)某汽车公司有两家装配厂,生产甲、乙两种不同型号的汽车,若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车;B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车,问这两家工厂各工作几小时,才能使所费的总工时最少?解析设A厂工作x小时,B厂工作y小时,总工作时数为t小时,则目标函数t=x+y,x,y满足x+3y≥40,2x+y≥20,x≥0,y≥0.可行域如图所示,而符合题意的解为此内的整点,于是问题变为要在此可行域内,找出整点(x,y),使t=x+y的值最小.由图知当直线l:y=-x+t过Q点时,纵截距t最小.解方程组x+3y=40,2x+y=20,得Q(4,12).答:A厂工作4小时,B厂工作12小时,可使所费的总工时最少.21.(12分)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y=144vv2-58v+1225(v0).(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内?思路分析(1)利用基本不等式求最大车流量,(2)转化为解不等式.解析(1)依题意,有y=144v+1225v-58≤14421225-58=12,当且仅当v=1225v,即v=35时等号成立,∴ymax=12,即当汽车的平均速度v为35千米/时,车流量最大为12.(2)由题意,得y=144vv2-58v+12259.∵v2-58v+1225=(v-29)2+3840,∴144v9(v2-58v+1225).∴v2-74v+12250.解得25v49.即汽车的平均速度应在(25,49)内.22.(12分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品,经测算,对于函数f(x)和g(x),当甲公司投入x万元作宣传时,若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元,则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则没有失败的风险;当乙公司投入x万元作宣传时,若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元,则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则没有失败的风险.(1)试解释f(0)=10,g(0)=20的实际意义;(2)设f(x)=14x+10,g(x)=x+20,甲、乙公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用,问甲、乙两公司应投入多少宣传费?解析(1)f(0)=10表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要避免新产品的开发有失败风险,至少要投入10万元宣传费;g(0)=20表示当乙公司不投入宣传费时,甲公司要避免新产品的开发有失败的风险,至少要投入20万元宣传费.(2)设甲公司投入宣传费x万元,乙公司投入宣传费y万元,依题意,当且仅当y≥fx=14x+10,①x≥gy=y+20,②成立,双方均无失败的风险.由①②得y≥14(y+20)+10⇒4y-y-60≥0,∴(y-4)(4y+15)≥0.∵4y+150,∴y≥4.∴y≥16.∴x≥y+20≥4+20=24.∴xmin=24,ymin=16.即要使双方均无失败风险,甲公司至少要投入24万元,乙公司至少要投入16万元.
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