新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题

1解三角形一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：1.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝23，则AC＝()A．43B．22C．3D．322.在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形3.在△ABC中，已知a＝11，b＝20，A＝130°，则此三角形()A．无解B．只有一解C．有两解D．解的个数不确定4.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75视角，则B、C两岛的距离是（）海里A.65B.35C.25D.55.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为()A．90°B．120°C．135°D．150°6.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定的一点C，测出AC的距离为502m，45ACB，105CAB后，就可以计算出A，B两点的距离为()A.100mB.503mC.1002mD.200m7.在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则△ABC的面积为()A．1B．2C.2D.38.如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于()A.3B．53C．63D．739.在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinBsinC的值为()A.85B.58C.53D.3510.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若C船位于A处北偏东30°方向上，则缉私艇B与船C的距离是()A．5(6＋2)kmB．5(6－2)kmC．10(6＋2)kmD．10(6－2)km11.△ABC的周长为20，面积为103，A＝60°，则BC的长等于()A．5B.6C．7D．812.在ABC△中，角ABC、、所对的边分别为,,abc，若120,2Cca，则（）A．abB．abC．abD．a与b的大小关系不能确定二、填空题（共4小题，每小题5分）：13.三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦值是方程06752xx的根，则此三角形的面积是。14.△ABC中，A，B，C分别为a，b，c三条边的对角，如果b＝2a，B＝A＋60°，那么A＝__________.15.在△ABC中，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)＝8：9：10，则sinA：sinB：sinC＝________.16.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距m．三、解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤)：17．(本题满分10分)在非等腰△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b(b＋c)．(1)求证：A＝2B；(2)若a＝3b，试判断△ABC的形状．218．(本题满分12分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.19．（本题满分12分）锐角△ABC中，角CBA、、的对边分别是cba、、，已知412cosC.（1）求Csin的值；（2）当2a，CAsinsin2时，求b的长及△ABC的面积．21．（本题满分12分）在△ABC中，已知内角A＝π3，边BC＝23，设内角B＝x，周长为y.(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；(2)求y的最大值．22．（本题满分12分）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，sin(B－A)＝cosC.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.3解三角形参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：1.B2.C3.A4.D5.B6.A7.D8.B9.D10.D11.C12.A第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分）：13.614.30°15.11：9：716.103三、解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤；)：17．解:(1)证明：在△ABC中，∵a2＝b·(b＋c)＝b2＋bc，由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝bc＋c22ac＝b＋c2a＝a2b＝sinA2sinB，∴sinA＝2sinBcosB＝sin2B.则A＝2B或A＋2B＝π.若A＋2B＝π，又A＋B＋C＝π，∴B＝C.这与已知相矛盾，故A＝2B.(2)∵a＝3b，由a2＝b(b＋c)，得3b2＝b2＋bc，∴c＝2b.又a2＋b2＝4b2＝c2.故△ABC为直角三角形．18．(1)由正弦定理，得asinB＝bsinA，所以bsin2A＋bcos2A＝2a，所以ba＝2.(2)由余弦定理及c2＝b2＋3a2，得13cos2aBc.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2，所以cos2B＝12.又cosB0，故cosB＝22，∴B＝45°.19．（1）因为21cos212sin,042CCC，所以10sin4C．（2）当2,2sinsinaAC时，由sinsinacAC，解得4c．由21cos22cos14CC，及02C得6cos4C，由2222coscababC，得26120bb，解得26b（负值舍去），1sin152ABCSabC.20．（1）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则由余弦定理得，290040023020cos9030Stt2219006004009003003ttt，故13t时，min103S，10330313v，即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．（2）设小艇与轮船在处相遇，由题意可知222203022030cos9030vttt，4化简得222400600139004006754vttt，由于102t，所以12t，所以当12t时，v取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．（3）存在.由（2）知22400600900vtt，设10uut，于是224006009000uuv.小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程有两个不等正根，即22260016009000,9000,vv解得15330v，所以v的取值范围是153,30．21．解(1)△ABC的内角和A＋B＋C＝π，由A＝π3，B0，C0，得0B2π3.应用正弦定理，得AC＝BCsinA·sinB＝23sinπ3·sinx＝4sinx.AB＝BCsinAsinC＝4sin2π3－x.∵y＝AB＋BC＋CA，∴y＝4sinx＋4sin2π3－x＋230x2π3.(2)y＝4(sinx＋32cosx＋12sinx)＋23＝43sin(x＋π6)＋23.∵π6x＋π65π6，∴当x＋π6＝π2，即x＝π3时，y取得最大值63.22．解(1)因为tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，即sinCcosC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，得sin(C－A)＝sin(B－C)．所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(舍)，即2C＝A＋B，得C＝π3，所以B＋A＝2π3.又因为sin(B－A)＝cosC＝12，则B－A＝π6，或B－A＝5π6(舍去)．得A＝π4，B＝5π12.所以A＝π4，C＝π3.(2)S△ABC＝12acsinB＝6＋28ac＝3＋3，又asinA＝csinC，即a22＝c32.得a＝22，c＝23.