线性代数重要知识点总结

线性代数N阶行列式定理1：任意一个排列经过对换后，其奇偶性改变。推论：奇排列变成自然数顺序排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然数顺序排列的对换次数为偶数。定理2：n个自然数（n-1）共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半。行列式的性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。性质2：交换行列式的两行（列），行列式变号。注2：交换i,j两列，记为ri↔ri（ci↔cj）。推论1：如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，那么该行列式必为零。性质3：用数k乘行列式的某一行（列），等于用k乘此行列式。注3：第i行（列）乘以k，记为ri×k（ci×k）。推论2：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。推论3：在一个行列式中，如果有两行（列）元素成比例，则这个行列式必等于零。性质4：如果将行列式的某一行（列）的每个元素都改写成两个数的和，则此行列式可写为两个行列式的和，且这两个行列式分别为所在行（列）对应位置的元素，其它元素不变。注4：上述结果可推广到有限个数和的情形。性质5：将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一个行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。注5：以数k乘第j行加到第i行上，记作ri+krj；以数k乘第j列加到第i列上，记作ci+kcj。行列式按行（列）展开余子式：Mij代数余子式：Aij=（-1）i+jMij引理：一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除aij外都为0，则该行列式等于aij与它代数余子式的乘积，即D=aijAij定理：行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。推论：行列式某一行（列）的每元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。k阶行列式：在n阶行列式D中，任意选定k行k列，位于这些行和列交叉处的k²个元素，按原来顺序构成一个k阶行列式M,称为D的一个k阶子式，划去这k行k列，余下的元素按原来的顺序构成一个n-k阶行列式，在其前面冠以符号(-1)的（i1+i2+…+ik+j1+j2+…+jk）次方，称为M的代数余子式，其中i1,i2,…,ik为k阶子式M在D中的各行标，j1,j2,…,jk为M在D中的各列标。（注：行列式的k阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行(列)展开的性质。）定理(拉普拉斯定理):在n阶行列式D中，任意取定k行(列)(1≤k≤n-1)，由这k行(列)组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。克莱姆法则含有n个未知数x1,x2,x3,…,xn的线性方程组称为n元线性方程组。当其右端的常数项b1,b2,…,bn不全为零时，方程组（1）称为非齐次线性方程组，当b1,b2,…,bn全为零时，方程组（1）称为齐次线性方程组，即线性组方程（1）的系数aij构成的行列式称为该方程组的系数行列式D,即定理(克莱姆法则)：若线性方程组(1)的系数行列式D≠0，则线性方程组(1)有唯一解，其解为xj=Dj/D(j=1,2,…,n)其中，行列式Dj(j=1,2,…,n)是把D中的第j列元素a1j,a2j,a3j,…,anj对应的换为方程组的常数项b1,b2,…,bn而其余各列保持不变所得到的行列式。定理1：如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0，则线性方程组(1)一定有解，且解是唯一的。定理2：如果线性方程组(1)无解或解不是唯一的，则它的系数行列式必为零。定理3:如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组(2)只有零解。定理4:如果齐次线性方程组(2)有非零解，则它的系数行列式D=0。矩阵特殊矩阵：n阶方阵；行矩阵：只有一行的矩阵称为行矩阵（或行向量）；列矩阵：只有一列的矩阵称为列矩阵（或列向量）；零矩阵：元素全是零的矩阵称为零矩阵，可记作0；对角阵：对角线非零非1，其余元素全为零的n阶方阵称为n阶对角阵；单位阵：对角线元素为1，其余元素全为零的n阶矩阵称为n阶单位阵，记作En；数量矩阵：对角线全为元素a，其余元素全为零的n阶矩阵称为n阶数量矩阵。加减法运算：前提：A、B矩阵行数相等且列数相等，称为同型矩阵。加减法则：对应元素相加减（PS：行列式为对应不同行列相加），且遵循交换律与结合律。-A为矩阵A的负矩阵。数乘：数λ与m×n矩阵的乘积记作λA或Aλ数乘法则：每个元素都乘λ（PS：行列式为某一行或某一列乘以λ），且遵循结合律与分配率。乘法：前提：前面矩阵的列数与后面矩阵的行数相等。（任意行列式均可相乘）。乘法法则：前面矩阵的行与后面矩阵的对应列的对应元素相乘，下标ij行取前面矩阵对应的行，列取后面矩阵对应的列。单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1矩阵的乘法不满足交换率与消去律。（例：矩阵A≠0，B≠0却有A=0，B=0）分块矩阵：分块对角矩阵：除了对角线上的矩阵之外，其余矩阵均为零。分块对角矩阵性质：∣A∣=∣A1∣∣A2∣…∣An∣若对角线矩阵不为零，则该方块矩阵不为零。对矩阵求逆矩阵，等于给对角线的方块矩阵求逆矩阵。同结构的分块对角矩阵的和，差，积，数乘及逆仍是方块对角矩阵，且运算表现为对应子块的运算。分块上三角及下三角矩阵（对角线必须是方阵）：同结构的分块上（下）三角矩阵的和，差，数乘及逆仍是分块上（下）三角矩阵。矩阵的初等变换矩阵初等变换：1.初等行变换：①对调两行，记作ri↔rj②以非零常数k乘某一行的所有元素，记作ri×k③某一行加上另一行的k倍，记作ri+krj。2.初等列变化：把上述定义行变成列即可。3.初等变换的逆变换也是初等变换。矩阵之间的等价关系：定义：矩阵A经过有限次初等变换为矩阵B，则称矩阵A与B等价。性质：1.自反性A-A2.对称性若A-B，则B-A3.传递性若A-B,B-C，则A-C初等变换后几种特殊矩阵关系：1.行阶梯形矩阵：通过有限次初等行变换形成→可画出一条阶梯线，线下元素全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面非零行的第一个元素非零。2.行最简形矩阵：由行阶梯型矩阵经过初等行变换→满足行阶梯性矩阵；非零行的第一个非零元为1；首非零元所在的列的其它元素都为零。3.标准形矩阵：行最简形矩阵初等列变换→行最简形矩阵；左上角为单位矩阵，其它元素全为零。关系：行阶梯形矩阵＞行最简形矩阵＞标准形矩阵初等变换的相关定理：1.任意一矩阵经过有限次初等变换，可以换为标准形矩阵任意一矩阵经过有限次初等行变换，可以化为行阶梯形矩阵，进而可以化为行最简形矩阵。变换得到的矩阵。2.如果A为n阶可逆矩阵，则矩阵A经过有限次初等变换可化为单位矩阵。初等矩阵：对单位矩阵E经过一次初等变换的矩阵称为初等矩阵。第一类：i行（列）与j（列）行互换，E(i,j)第二类：i行（列）乘以非零数k，E（i(k）)第三类：第j行乘以数K加到第i行，或第i列乘以数k加到第j列，E(i,j(k))初等矩阵基本性质：E(i,j)-1=E(i,j);E(i(k))-1=E(i(1/k));E(ij(k)-1)=E(ij(-k))定理2：设A是一个m*n矩阵，对A施行一次某种初等行（列）变换，相当于用同种变换的m(n)阶初等矩阵左（右）乘A。求逆矩阵的初等变换法：定理3：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为若干初等矩阵的乘积。初等变换求逆矩阵：求n阶矩阵A的逆矩阵：1.构造n*2n矩阵（AE）2.(A∣E)初等行变换为（E∣A-1）。或初等列变换（上下写A与E）解矩阵方程AX=B→X=A-1B步骤：1.构造n*(n+m)矩阵(AB)2.（AB）初等行变换为(EA-1B)。或初等列变换X=A-1B求（上下些A与B）矩阵的秩K阶子式：在m*n行矩阵A中，任取k行k列不改变这k2个元素在A中所处位置的次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。秩：设A为m*n矩阵，如果存在A的r阶子式D不为零，而任何r+1阶子式（如果存在的话）皆为零，则称D为矩阵A的最高阶非零子式，数r为矩阵A的秩，记为r(A)（或R(A)）,并规定零矩阵的秩等于零。矩阵秩的性质：（1）若矩阵A中有某个s阶子式不等于零，则r(A)≧s（2）若矩阵A中的所有t阶子式等于零，则r(A)＜t（3）若A为m*n阶矩阵，则0≦r(A)≦min(m,n)（4）若r(A)=min(m,n),则A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵（5）r(A)=r(AT)A与AT的子式对应相等（6）行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数矩阵秩的求法：定理1：若A→B，则r(A)=r(B)步骤：1.矩阵A经过初等行变换变为行阶梯形矩阵2.行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩。几个常用的矩阵秩的性质：1.Max{r(A),r(B)}≦r(A,B)≦r(A)+r(B)2.r(A+B)≦r(A)+r(B)3.r(AB)≦min{r(A),r(B)}4.若Am*nBn*l=0,则r(A)+r(B)≦n线性方程组线性方程组阶的判断及解法消元法的实质：对系数与常数构成的矩阵做初等变换。消元法实施的具体方法，就是把系数与常数构成的矩阵化为行最简形。增广矩阵（Ab）：系数与常数构成的矩阵,记作Ã（应该是A上一条短横线）线性方程组有解就是相容的，无解就是不相容的。1.齐次线性方程组解的判定（只有零解和非零解）设A=（aij）mn，n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是：系数矩阵A是秩r(A)＜n系数矩阵行最简形非零行行数=未知量个数→最简方程组方程的个数=未知量个数2.非齐次线性方程组设A=（aij）mn,n元非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩r(A)=r(Ã).