第6章统计决策分析

第6章统计决策分析重点与难点重点：非概率型决策和概率型决策的应用条件及准则先验概率型决策模型、方法以及应用后验概率型决策模型、方法以及应用难点：先验概率型决策方法后验概率型决策方法学习内容：•一、统计决策的要素和程序•二、非概率型决策•三、概率型决策：先验概率型决策和后验概率型决策6.1统计决策的要素和程序6.1.1统计决策的概念所谓决策就是在占有一定信息的基础上，利用各种方法，对影响特定目标的各种因素进行计算和分析，从而选择关于未来行动的“最佳方案”和“满意方案”的过程。统计决策是指主要依靠统计分析推断方法进行的决策。统计决策的分类•根据决策者对客观环境的了解程度不同，可以将决策问题分为确定性决策和非确定性决策。•非确定性决策可细分为概率型决策和非概率型决策。•非概率型决策和概率型决策都属于风险型决策。6.1.2统计决策的要素•一般来说，进行统计决策，必须具有以下三个基本要素：•（1）客观环境的可能状态集•（2）决策者的可行行动集•（3）决策行动的收益函数或损失函数•（1）客观环境的可能状态集•如果记客观环境的第i个可能状态为θi，并记客观环境的全部可能状态的集合为Θ，则就有Θ={θi}。对于统计决策来说，客观环境的可能状态集必须是确知的。•（2）决策者的可行行动集•对于任何一个决策问题，决策者都会有多个可供选择的行动方案，这些方案就构成了决策者的选择空间，称为行动空间。•如果记决策者可采取的第j种行动为aj，并记决策者的全都行动集合为A，则有A={aj}。（3）决策行动的收益函数或损失函数•决策行动的结果完全可以统一用损失函数表示。在统计决策理论中，常用的损失函数主要有以下几种：•①线性损失函数：决策行动的结果是决策者所采取的行动和客观环境的线性函数。形式为：),(),(),(21kkL•②平方误差损失函数•是用决策行动值α与客观环境状态参数值θ的偏差平方来度量决策行动的损失。•函数形式为：•如果对于客观环境状态参数的不同值，决策行动值偏差的损失不同，那应该给不同状态的偏差赋予不同的权重，就有加权平方误差损失函数,形式为：2)(),(L2)(),(wL•当客观环境的状态集为，且决策者的行动集为时，决策行动的收益函数或损失函数将只有有限的nm个数值，可以将它们排列成一个矩阵表，如下：),,(n21,θθθ)a,,a,(aAm21表1收益矩阵表状态θ1θ2…θn概率P1P2…Pn方案a1a2…amL11L12…L1nL21L22…L2n…………Lm1Lm2…Lmn【例1】一家酿酒厂就是否推出一种新型啤酒的问题进行决策分析。拟采取的方案有三种：一是进行较大规模的投资，年生产能力为2500万瓶，其每年的固定成本费用为300万元；二是进行较小规模的投资，年生产能力1000万瓶，其每年的固定成本费用为100万元；三不推出该种啤酒。假定在未考虑固定费用的前提下，每售出一瓶酒，均可获纯利0.3元。据预测，这种啤酒可能的年销售量为：50万瓶、1000万瓶和2500万瓶，这三种状况发生的概率分别为：0.2、0.3、0.5。试编制该问题的收益矩阵表。解：首先分别计算不同状态下采用不同方案可能带来的收益例如，当需求量大（年销售2500万瓶）时，方案一的收益为：0.3*2500-300=450万元；方案二的收益为：0.3*1000-100=200万元；方案三的收益为：0其他状态的收益计算方法相同，过程不一一列出。在以上计算的基础上，可编制如下收益矩阵表。表2啤酒投资的收益矩阵表单位：万元状态需求大需求中需求小概率0.50.30.2方案方案一方案二方案三4500－285200200－850006.1.3统计决策的程序一个完整的统计决策过程，包括以下几个基本步骤：（1）确定决策目标决策目标就是在一定条件制约下，决策者下期望达到的结果。它由所研究的问题决定，决策目标需要准确、简明、可测。（2）拟定备选方案备选方案是实现目标的各种可能途径，一般两个以上，所有被选方案称为行动空间，拟定备选方案需要充分调研。•（3）通过比较分析选出最佳的行动方案•对于已拟定的各种行动方案，还需要进一步对其进行比较分析，以选出对决策者来说最佳的行动方案。•（4）决策的执行•找到最佳的行动方案以后，决策者就需要按照这一行动方案去行动，只有通过行动方案的具体实施，才能最终达到决策者期望的决策目标。6.2非概率型决策•6.2.1非概率型决策的条件•非概率型决策就是在仅仅具备决策的三个基本要素的条件下的决策。•首先，必须对客观环境的可能状态有所了解；•其次，拟订出多种可行的行动方案；•最后，给出决策行动的收益函数或损失函数，最后作出决策。6.2.1非概率型决策的准则（1）大中取大准则该准则又称乐观准则或“好中求好”准则。其特点是决策者对未来形势比较乐观。在决策时，先选出各种状态下每个方案的最大收益值，然后再从中选择最大者，并以其相对应的方案作为所要选择的方案。该准则的数学表达式为：式中，a*是所要选择的方案。,),(*MaxQMaxQA（2）小中取大准则该准则又称悲观准则或“坏中求好”准则。它正好与乐观准则相反，决策者对未来形势比较悲观。在决策时，先选出各种状态下每个方案的最小收益值，然后再从中选择最大者，并以其相对应的方案作为所要选择的方案。该准则的数学表达式为：式中，a*是所要选择的方案。,),(*MinQMaxQA例2：假设例1中,有关市场状态的概率完全不知道，试根据大中取大准则和小中取大准则进行决策。解：（1）例1中，方案一在各种状态下的最大收益为450万元，方案二在各种状态下的最大收益为200万元，方案三在各种状态下的最大收益为0，根据大中取大准则，应选择方案一。（2）例1中，方案一在各种状态下的最小收益为-285万元，方案二在各种状态下的最小收益为-85万元，方案三在各种状态下的最小收益为0，根据小中取大准则，应选择方案三。（3）折衷准则该准则认为，对未来的形势既不应盲目乐观，也不应过分悲观。主张根据经验和判断确定一个乐观系数α（0≤α≤1），以α和1-α分别作为最大收益值和最小收益值的权数，计算各方案的期望收益H（α）。以期望收益值最大的方案作为所要选择的方案。该准则的数学表达式为：),()1(),()(QMinQMaxH)()(*HMaxaHA【例3】假设例1中,有关市场状态的概率不知,根据经验判断的乐观系数为0.6,试根据折衷准则进行决策。解：将有关数据代入公式，可得：H(Q(a1))=0.6×450+(1－0.6)(-285)=156H(Q(a2))=0.6×200+(1－0.6)(－85)=86H(Q(a3))=0.6×0+(1－0.6)×0=0因为在可选择的方案中，方案一的期望收益值较大，所以根据折衷原则，应选择方案一.（4）大中取小准则后悔值又称机会损失值，即由于决策失误而造成的真实际收益值与最大可能的收益值的差距。方案ai在状态θj下的后悔值，可按下式计算：式中，Q(ai,θj)是在第j种状态下，正确决策有可能得到的最大收益，qij是收益矩阵的元素。如果实际选择的方案正好是这种状态下的最优方案,则后悔值为0；如果实际选择的方案不如最优方案，决策者就会感到后悔。后悔值越大表明所选的方案与最优方案差距越大。显而易见，rij≥0。最小的最大后悔值准则的数学表达式为：ijjiiijqaQMaxr),(ijjirMaxMina*【例4】假设例9-1中,有关市场状态的概率完全不知道，试求出后悔矩阵并根据大中取小准则进行决策。解：(1)在市场需求大的情况下,采用方案一可获得最大收益,有:在市场需求中的情况下，采用方案二可获得最大收益，故有:在市场需求小的情况下，采用方案三可获得最大收益，故有:将其代入公式，可求得以下损失矩阵（参见表3）。(2)由表3可知：方案一的最大损失值为285万元，方案二的最大损失值为250万元，方案三的最大损失值为450万元。根据大中取小准则，应选择方案二。450),(1iiaQMax200),(2iiaQMax0),(3iiaQMax表3某项投资的损失矩阵表单位：万元状态需求大需求中需求小方案方案一方案二方案三025045020002002858506.3先验概率型决策•6.3.1先验概率型决策的条件如果决策者除了掌握有客观环境的可能状态集、决策者的可行行动集和决策行动的收益函数或损失函数这三个进行决策分析的基本要素之外，还掌握有客观环境的各种可能状态出现的先验概率分布，就可以使用先验概率型决策分析方法进行分析。•6.3.2先验概率型决策的准则•（1）期望损益准则•期望损益准则是以每个行动方案的期望收益或期望损失为标准，选出期望收益最大或者期望损失最小的行动方案作为最终确定的行动方案。•记决策者选中的行动方案为α*，按照期望损益准则进行决策就有：)],([)],([)],([)],([**LMinELEQMaxEQEAA或•决策者各个行动的期望损失通常称为该行动的风险，即为R(a)，即有：•R(a)=E[L(θ,α)]•根据期望损益原则，应选中期望损失最小的决策准则，也可以称为风险最小的决策准则，决策者选取的行动方案α*必须满足：)()(*RMinRA（2）最大可能准则该准则主张以最可能状态作为选择方案时考虑的前提条件。所谓最可能状态，是指在状态空间中具有最大概率的那一状态。按照最大可能准则，在最可能状态下，可实现最大收益值的方案为最佳方案。最大可能准则是将风险条件下的决策问题，简化为确定条件下的决策问题。只有当最可能状态的发生概率明显大于其他状态时，应用该准则才能取得较好的效果。【例5】试利用例1中给出的收益矩阵表的资料，根据最大可能准则选择最佳的投资方案。解：该例的各种自然状态中，“市场需求大”的概率最大，因此，该状态为最可能状态。在市场需求大的状态下，方案一可以获得最大的收益。所以，根据最大可能准则，应选择方案一。（3）渴望水平准则在有些决策准则中，决策者必须取得某个数额的收益以应付某种用途，收益少于这个数额，不足以应付这种用途之需，收益多于这个数额，也没有用。渴望水平准则是以决策者的渴望收益值为标准，选取最大可能取得此渴望收益值的行动方案作为所选择的行动方案。若记决策者的渴望收益值为Q*，决策者采取行动方案α可取得的收益大于决策者的渴望收益值的概率为，则按照渴望水平原则，决策者的最佳行动方案α*就是满足下式的行动方案：]*Q),P[Q(]),([]),([***QQPMaxQQPA6.3.3决策树技术1.决策树是求解风险型决策问题的重要工具,它是一种将决策问题模型化的树形图。决策树由决策点、方案枝、机会点、概率枝和结果点组成。2.利用决策树对方案进行比较和选择，一般采用逆向分析法，即先计算出树形结构的末端的条件结果，然后由此开始，从后向前逐步分析。3.决策树与收益矩阵表相比，适应面更广。它并不要求所有的方案具有相同的状态空间和概率分布.4.它特别适用于求解复杂的多阶段决策问题。决策节点：标决策期望益损值状态节点：标本方案期望损益值结果节点：标每个方案在相应状态下面的损益值概率分枝：标自然状态的概率决策树的五个要素方案分枝：标方案决策树的制作步骤•1、绘出决策点和方案枝，在方案枝上标出对应的备选方案；•2、绘出机会点和概率枝，在概率枝上标出对应的自然状态出现的概率值；•3、在概率枝的末端标出对应的损益值，这样就得出一个完整的决策树。【例6】某汽车配件厂拟安排明年某零部件的生产。该厂有两种方案可供选择：方案一是继续利用现有的设备生产，零部件的单位成本是0.6万元。方案二是对现有设备进行更新改造，以提高设备的效率。更新改造需要投资100万元（假定其全部摊入明年的成本），成功的概率是0.7。如果成功，零部件不含上述投资费用的单位成本可降至0.5万元；如果不成功，则仍用现有设备生产。另据预测