2016届浙江省杭州市高考数学二模试卷(理科)解析版

2016年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2016•杭州二模）设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={y|y=x2﹣2x，x∈A}，则A∪B=（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．（﹣∞，2]D．[0，+∞）2．（5分）（2016•杭州二模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则“a2＞0且a1＞0”是“数列{Sn}单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）（2016•杭州二模）若直线x=m（m＞1）与函数f（x）=logax，g（x）=logbx的图象及x轴分别交于A，B，C三点．若|AB|=2|BC，则|（）A．b=a2或a=b2B．a=b﹣1或a=b3C．a=b﹣1或b=a3D．a=b34．（5分）（2016•杭州二模）设x∈（0，π），若，则=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）（2016•杭州二模）在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=2，若=，则|+t|（t∈R）的取值范围是（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．[，1]D．[1，+∞）6．（5分）（2016•杭州二模）设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的顶点为A1，A2，P为双曲线上一点，直线PA1交双曲线C的一条渐近线于M点，直线A2M和A2P的斜率分别为k1，k2，若A2M⊥PA1且k1+4k2=0，则双曲线C离心率为（）A．2B．C．D．47．（5分）（2016•浙江模拟）设函数f（x）与g（x）的定义域为R，且f（x）单调递增，F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）﹣g（x）．若对任意x1，x2∈R（x1≠x2），不等式[f（x1）﹣f（x2）]2＞[g（x1）﹣g（x2）]2恒成立．则（）A．F（x），G（x）都是增函数B．F（x），G（x）都是减函数C．F（x）是增函数，G（x）是减函数D．F（x）是减函数，G（x）是增函数8．（5分）（2016•杭州二模）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD．若PA=AD=AB=kBC（0＜k＜1），则（）A．当k=时，平面BPC⊥平面PCDB．当k=时，平面APD⊥平面PCDC．对∀k∈（0，1），直线PA与底面ABCD都不垂直D．∃k∈（0，1），使直线PD与直线AC垂直．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）9．（6分）（2016•杭州二模）设函数f（x）=，最小正周期T=π，则实数ω=，函数f（x）的图象的对称中心为，单调递增区间是．10．（6分）（2016•杭州二模）已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为，表面积为．11．（4分）（2016•杭州二模）两直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0，若l1⊥l2，则a=．12．（4分）（2016•杭州二模）若实数x，y满足，则|x|+|y|的取值范围是．13．（4分）（2016•杭州二模）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB=120°，过弦AB中点M作准线l的垂线，垂足为M1，则的最大值为．14．（6分）（2016•杭州二模）定义M{x，y}=，设a=x2+xy+x，b=4y2+xy+2y（x，y∈R），则M{a，b}的最小值为，当M取到最小值时，x=，y=．15．（6分）（2016•浙江模拟）在边长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E，F，G分别在BB′，BC，BA上，并且满足，，．若平面AB′F，平面ACE，平面B′CG交于一点O，，则x+y+z=，=．三、解答题（共5小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16．（14分）（2016•杭州二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若msinA=sinB+sinC（m∈R）．（I）当m=3时，求cosA的最小值；（Ⅱ）当A=时，求m的取值范围．17．（15分）（2016•杭州二模）在底面为正三角形的三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB=2，AA1⊥平面ABC，E，F，G分别为BB1，AB，AC的中点．（Ⅰ）求证：BG∥平面A1EC1；（Ⅱ）若AA1=2，求二面角A1﹣EC﹣F的大小．18．（15分）（2016•杭州二模）设数列{an}满足a1=1，an+1=an+（n∈N*）．（Ⅰ）求证：2≤a2n+1﹣a2n≤3；（Ⅱ）求证：．19．（15分）（2016•杭州二模）设直线l与抛物线x2=2y交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点，直线OA，OB，OC，OD（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，k3，k4．若OA⊥OB．（Ⅰ）是否存在实数t，满足k1+k2=t（k3+k4），并说明理由；（Ⅱ）求△OCD面积的最大值．20．（15分）（2016•杭州二模）设函数f（x）=x++c（b＜﹣1，c∈R），函数g（x）=|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值为M．（1）若b=﹣2，求M的值；（2）若M≥k对任意的b，c恒成立，求k的最大值．2016年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2016•杭州二模）设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={y|y=x2﹣2x，x∈A}，则A∪B=（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．（﹣∞，2]D．[0，+∞）【分析】分别求出集合A，B的范围，取并集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x≤0}=[0，2]，B={y|y=x2﹣2x，x∈A}=[﹣1，0]，则A∪B=[﹣1，2]，故选：A．【点评】本题考查了解不等式问题，考查集合的运算，是一道基础题．2．（5分）（2016•杭州二模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则“a2＞0且a1＞0”是“数列{Sn}单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】设等差数列{an}的公差为d，d≠0．可得：Sn=na1+d=﹣，数列{Sn}单调递增，可得d＞0，≤1，因此d+2a1≥0．由a2＞0且a1＞0，可得a2=a1+d＞0．即可判断出结论．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，d≠0．Sn=na1+d=n2+=﹣，∵数列{Sn}单调递增，∴d＞0，≤1，可得d+2a1≥0．由a2＞0且a1＞0，可得a2=a1+d＞0．∴“a2＞0且a1＞0”是“数列{Sn}单调递增”的既不充分又不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了函数的性质、不等式的性质、等差数列的通项公式及其前n项和公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）（2016•杭州二模）若直线x=m（m＞1）与函数f（x）=logax，g（x）=logbx的图象及x轴分别交于A，B，C三点．若|AB|=2|BC，则|（）A．b=a2或a=b2B．a=b﹣1或a=b3C．a=b﹣1或b=a3D．a=b3【分析】由条件便可得到|AB|=|logam﹣logbm|，|BC|=|logbm|，都换成以m为底，再由|AB|=2|BC|即可得到，进一步即可得到logmb﹣logma=±2logma，进行对数式的运算即可得出a，b的关系，从而找出正确选项．【解答】解：根据条件，|AB|=|logam﹣logbm|=，；∵|AB|=2|BC|；∴；∴；∴|logmb﹣logma|=2|logma|；∴logmb﹣logma=±2logma；∴logma=﹣logmb或logmb=3logma；∴a=b﹣1，或b=a3．故选C．【点评】考查对数函数的图象，清楚x=m的图象，横坐标相等的两点间距离的求法，以及对数的换底公式，对数式的运算性质．4．（5分）（2016•杭州二模）设x∈（0，π），若，则=（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】根据题意，求出x的值，再代人中，即可求出结果．【解答】解：∵x∈（0，π），且，∴=2，即sinx+cosx=2sinxcosx，两边平方得1+2sinxcosx=8sin2xcos2x，即1+sin2x=2sin22x，解得sin2x=1或sin2x=﹣（不合题意，舍去）；当sin2x=1时，2x=，解得x=，∴=sin（+）=cos=．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的化简与求值运算问题，是基础题目．5．（5分）（2016•杭州二模）在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=2，若=，则|+t|（t∈R）的取值范围是（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．[，1]D．[1，+∞）【分析】先建立坐标系，求出点P的坐标，根据向量的模的计算得到|+t|2=t2﹣t+2，构造函数f（t）=t2﹣t+2，求出函数最值即可．【解答】解：以A点为原点，以直线AB为x轴，直线AD为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（1，1）∴=（0，1），=（2，0），=（﹣1，1）设P点坐标为（x，y），则=（x，y），∵=，∴（x，y）=（0，1）+（2，0）=（，），∴=（，﹣），∴+t=（﹣1，1﹣），∴|+t|2=（﹣1）2+（1﹣）2=t2﹣t+2，设f（t）=t2﹣t+2，则对称轴为t=，当t=时，f（t）min=f（）=，∴|+t|（t∈R）的取值范围是为[，+∞）故选：A．【点评】本题考查了向量的坐标运算以及二次函数的最值问题，属于中档题．6．（5分）（2016•杭州二模）设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的顶点为A1，A2，P为双曲线上一点，直线PA1交双曲线C的一条渐近线于M点，直线A2M和A2P的斜率分别为k1，k2，若A2M⊥PA1且k1+4k2=0，则双曲线C离心率为（）A．2B．C．D．4【分析】设P（m，n），即有﹣=1，即为=，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及直线的斜率公式，化简整理，结合离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设P（m，n），即有﹣=1，即为=，由A1（﹣a，0），A2（a，0），A2M⊥PA1，可得PA1的斜率为=﹣，可得PA2的斜率为=k2=﹣k1，两式相乘可得，=，即有=，即为b=a，c==a，即有e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点满足双曲线的方程，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．7．（5分）（2016•浙江模拟）设函数f（x）与g（x）的定义域为R，且f（x）单调递增，F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）﹣g（x）．若对任意x1，x2∈R（x1≠x2），不等式[f（x1）﹣f（x2）]2＞[g（x1）﹣g（x2）]2恒成立．则（）A．F（x），G（x）都是增函数B．F（x），G（x）都是减函数C．F（x）是增函数，G（x）是减函数D．F（x）是减函数，G（x）是增函数【分析】根据题意，不妨设x1＞x2，f（x）单调递增，可得出f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2），且f（x1）﹣f（x2）＞﹣g（x1）+g（x2），根据单调性的定义证明即可．【解答】解：对任意x1，x2∈R（x1≠x2），不等式[f（x1）﹣f（x2）]2＞[g（x1）﹣g（x2）]2恒成立，不妨设x1＞x2，f（x）单调递增，∴f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2），且f（x1）﹣f（x2）＞﹣g（x1）+g（x2），∴F（x1）=f（x1）+g（x1），F（x2）=f（x2）+g（x2），∴F（x1）﹣F（x2）=f（x1）+g（x1）﹣f（x2）﹣g（x2）=f（x1）﹣f（x2）﹣（g（x2）﹣g（x1）＞0，∴F（x）为增函数；同理可证G（x）为增函数，故选A．【点评】考查了对绝对值不等式的理解和利用定义证明函数的单调性．8．（5分）（2016•杭州二模）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD．若PA=AD=AB=kBC