小学奥数-行程相遇问题(教师版)

行程相遇问题甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间.一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和。解决行程问题，常常要借助于线段图。【例1】★一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？【解析】本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）．【小试牛刀】两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？【解析】根据相遇公式知道相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时），所以甲走的路程为：45×3=135（千米），乙走的路程为：40×3=120（千米）.【例2】★大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？【解析】大头儿子和小头爸爸的速度和：30005060(米/分钟)，小头爸爸的速度：6024242（）(米/分钟)，大头儿子的速度：604218(米/分钟)．【小试牛刀】聪聪和明明同时从各自的家相对出发，明明每分钟走20米，聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快42米，经过20分钟后两人相遇，你知道聪聪家和明明家的距离吗？【解析】方法一：由题意知聪聪的速度是：204262(米/分)，两家的距离明明走过的路程聪聪走过的路程2020622040012401640(米)，请教师画图帮助学生理解分析．注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式：Svt和和．对于刚刚学习奥数的孩子，注意引导他们认识、理解及应用公式．方法二：直接利用公式：2062201640（）(米)．【例3】★★A、B两地相距90米，包子从A地到B地需要30秒，菠萝从B地到A地需要15秒，现在包子和菠萝从A、B两地同时相对而行，相遇时包子与B地的距离是多少米？【解析】包子的速度：90303(米／秒)，菠萝的速度：90156(米／秒)，相遇的时间：90(36)10(秒)，包子距B地的距离：9031060(米)．【例4】★★甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两城同时出发，相对而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需12小时，问：两车出发后多长时间相遇？【解析】要求两车的相遇时间，则必须知道它们各自的速度，甲车的速度是360490（千米／时），乙车的速度是3601230（千米／时），则相遇时间是360(9030)3（小时）．【例5】★★甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米，5小时相遇，求A、B两地间的距离．【解析】这题不同的是两车不“同时”．求A、B两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和．这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来．48(15)288（千米），505250（千米），288250538（千米）．【小试牛刀】甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？【解析】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：41282(千米)，甲、乙两车同时相对而行路程：77082688(千米)，甲、乙两车速度和：454186(千米／时)，甲车行的时间：688868(小时)．【例6】★★甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行3小时后乙车从B地出发，乙车出发5小时后两车还相距15千米．甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米．求A、B两地间相距多少千米？？20分钟后相遇明明聪聪Svt和和【解析】题目中写的“还”相距15千米指的就是最简单的情况。画线段图如下：由图中可以看出，甲行驶了358(小时)，行驶距离为：488384(千米)；乙行驶了5小时，行驶距离为：505250(千米)，此时两车还相距15千米，所以A、B两地间相距：38425015649(千米)也可以这样做：两车5小时一共行驶：48505490（）(千米)，A、B两地间相距：49048315649(千米)，所以，A、B两地间相距649千米．【小试牛刀】(全国希望杯数学邀请赛)甲、乙两辆汽车从A、B两地同时相向开出，出发后2小时，两车相距141千米；出发后5小时，两车相遇．A、B两地相距多少千米？【解析】公式“相遇时间路程和速度和”中，对于速度不变的两车，“相遇时间”与“路程和”是一一对应的．如图所示5小时的相遇时间与A、B两地的距离相对应，(52)小时的相遇时间与141千米相对应.两车的速度之和是：1415247（）(千米/时).A、B两地相距：475235(千米)【例7】★★两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走40千米，另一列城铁每小时走45千米，在途中每列车先后各停车4次，每次停车15分钟，经过7小时两车相遇，求两城的距离？【解析】每列车停车时间：15460（分）=1（小时），两列车停车时间共2小时，共同行驶时间：716小时，速度和：404585（千米），两城距离：856510（千米）．【小试牛刀】两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走40千米，另一列城铁每小时走45千米，在途中每列车先后各停车5次，每次停车12分钟，经过7小时两车相遇，求两城的距离？【解析】每列车停车时间：12560（分）=1（小时），两列车停车时间共2小时，共同行驶时间：716小时，速度和：404585（千米），两城距离：856510（千米）．【例8】★★夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，两人在距两地中点50米处相遇，求两地的距离是多少米？【解析】根据题意，画线段图如下：2小时5小时2小时141千米5小时BA相遇从图中可以看出(可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？)，因为夏夏的速度比冬冬慢，所以相遇点一定在中点偏向夏夏的这一边50米，由图可以得出：夏夏所行路程全程一半50米，冬冬所行路程全程一半50米；所以两人相遇时，冬冬比夏夏多走了502100(米)，冬冬比夏夏每分钟多走10米，所以两人从出发到相遇共走了10分钟，两地的距离：6050101100（）(米)．【小试牛刀】甲乙两人同时从两地相向而行．甲每小时行5千米，乙每小时行4千米．两人相遇时乙比甲少行3千米．两地相距多少千米？【解析】两人行驶的时间为3÷（5-4）=3小时，所以两地相距(5+4)×3=27千米【例9】★★甲乙二人同时分别自A、B两地出发相向而行，相遇之地距A、B中点300米，已知甲每分钟行100米，乙每分钟行70米，求A地至B地的距离.【解析】相遇时甲比乙多行3002600（米），相遇时共用了6001007020（分），A、B两地之间的距离为10070203400（米）.【小试牛刀】李明和王亮同时分别从两地骑车相向而行，李明每小时行18千米，王亮每小时行16千米，两人相遇时距全程中点3千米．问全程长多少千米？【解析】李明走了全程的一半多3千米，王亮走了全程的一半少3千米，李明比王亮实际多走了326(千米)．由已知李明每小时比王亮多走18162(千米)，李明比王亮多行6千米需要623(小时)，这就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程是：(1816)3102(千米)．【例10】★★★甲、乙两车分别同时从、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求、两地间的距离．【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)可以发现第一次相遇意味着两车行了一个、两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个、两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个、两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个、两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即953285(千米)，而这285千米比一个、两地间的距离多25千米，可得：9532528525260(千米)．AABABABABABAB【小试牛刀】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地90千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地30千米处相遇．求A、B两地间的距离？【解析】第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了90千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个90千米，即903270（千米），而这270千米比一个A、B两地间的距离多30千米，可得：9033027030240(千米)．1.甲、乙两列火车从相距144千米的两地相向而行，甲车每小时行28千米，乙车每小时行22千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？【解析】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：22244(千米)，甲、乙两车同时相对而行路：14444100(千米)，甲、乙两车速度和：282250(千米)，与乙车相遇时甲车行的时间为：100502(小时)．2.妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟走75米．妈妈走了3分钟后，小红从学校出发，小红每分钟走60米．再经过20分钟妈妈和小红相遇．从小红家到学校有多少米？【解析】妈妈先走了3分钟，就是先走了753225（米）．20分钟后妈妈和小红相遇，也就是说妈妈和小红共同走了20分钟，这一段的路程为：(7560) 202700（米），这样妈妈先走的那一段路程，加上后来妈妈和小红走的这一段路程，就是小红家到学校的距离．即(753)(7560)202925（米）．3.甲乙两座城市相距530千米，货车和客车从两城同时出发，相向而行．货车每小时行50千米，客车每小时行70千米．客车在行驶中因故耽误1小时，然后继续向前行驶与货车相遇．问相遇时客车、货车各行驶多少千米？【解析】因为客车在行驶中耽误1小时，而货车没有停止继续前行，也就是说，货车比客车多走1小时．如果从总路程中把货车单独行驶1小时的路程减去，然后根据余下的就是客车和货车共同走过的．再求出货车和客车每小时所走的速度和，就可以求出相遇时间．然后根据路程＝速度×时间，可以分别求出客车和货车在相遇时各自行驶的路程．相遇时间：(53050)(5070)4801204（小时）相遇时客车行驶的路程:704280(千米)相遇时货车行驶的路程：50(41)250（千米）．4.甲、乙两列火车从相距366千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行37千米，乙列火车每小时行36千米，甲列火车先开出2小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇？【解析】36637237364（）（）(小时)．5.夏夏和冬冬同时从两地相向而行，两地相距1100米，