【成才之路】2015-2016学年高中数学-第2章-4二项分布课件-北师大版选修2-3

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修2-3概率第二章§4二项分布第二章课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．本节重点：n次独立重复试验及二项分布．本节难点：n次独立重复试验及二项分布模型的建立.1.独立重复试验是在___________下重复地、各次之间_________进行的一种试验．这种试验中，每一次试验只有_______________结果，而且任何一次试验中某事件发生的概率都是一样的．同样的条件相互独立两个相互对立的2．在相同条件下重复做的n次试验称为________________，设每次试验中事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为X，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝_____________，其中k＝0,1，…，n，则称随机变量X服从参数为n，p的_________，记作X～B(n，p)，并称p为__________.n次独立重复试验Cknpk(1－p)n－k二项分布成功概率1.对n次独立重复试验的理解(1)独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：每次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛．2．独立重复试验的概率公式n次独立重复试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为Pn(k)＝Cknpkqn－k，k＝0,1,2，…，n.一般地，在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0p1)，即P(A)＝p，P(A)＝1－p＝q，由于试验的独立性，n次试验中，事件A在指定的k次发生，而在其余n－k次不发生的概率为pkqn－k，又由于在n次试验中，事件A恰好发生k次的方式有Ckn种，所以由概率的乘法公式可知公式成立．①由二项式定理可得，(q＋p)n＝C0np0qn＋C1np1qn－1＋…＋Cknpkqn－k＋…＋Cnnpnq0＝k＝0nCknpkqn－k＝k＝0nPn(k)，可以看到Pn(k)＝Cknpkqn－k是(q＋p)n的二项展开式中的第k＋1项，可见排列组合、二项式定理、概率之间存在着密切的联系．②公式中，p＋q＝1，且Pn(0)＋Pn(1)＋…＋Pn(n)＝(q＋p)n＝1n＝1.③n次独立重复试验中事件恰好发生了k次，其中的k次是从n次中选出来的，并不限定于具体的哪k次，故有一个组合数Ckn.④n次独立重复试验中恰好第k次发生，与恰好发生k次是有很大区别的，前者仅仅是第k次发生了，其他各次没有发生，此时不存在乘Ckn.3．二项分布：(1)二项分布实际上只是对n次独立重复试验从概率分布的角度作了进一步的阐述，是概率论中最重要的几种分布之一．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是对立性，即一次试验中只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．(3)由二项分布的定义，若X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．这里各个符号的意义要弄清．(4)由于在n次独立重复试验中某个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Cknpkqn－k恰好是二项展开式(q＋p)n＝C0np0qn＋C1np1qn－1＋…＋Cknpkqn－k＋…＋Cnnpnq0中的第k＋1项(这里k可取0,1,2，…，n中的各个值)，所以称这样的随机变量X服从二项分布.1.某一次试验中事件A发生的概率为p，则在n次试验中，事件A发生k次的概率为()A．1－pkB．(1－p)kpn－kC．(1－p)kD．Ckn(1－p)kpn－k[答案]D[解析]因为事件A发生的概率为p，所以事件A发生的概率为1－p，故事件A发生k次的概率为Ckn(1－p)kpn－k.2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是()A.12125B.16125C.48125D.96125[答案]C[解析]本题考查独立重复试验、二项分布．P(X＝2)＝C23452×15.3．某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰含一件次品的概率是()A．(99100)6B．0.01C．C161100(1－1100)5D．C22(1100)2(1－1100)4[答案]C[解析]每盒中恰含一件次品的概率是C161100(1－1100)5.故应选C.4．某同学进行了2次投篮(假定这两次投篮互不影响)，每次投中的概率都为p(p≠0)，如果最多投中1次的概率不小于至少投中1次的概率，则p的取值范围为________．[答案]0p≤12[解析](1－p)2＋C12p(1－p)≥C12p(1－p)＋p2，解得0p≤12.5．(2014·湖南师大附中高二期中)某班有4位同学住在同一个小区，上学路上要经过1个路口．假设每位同学在路口是否遇到红绿灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是13，则最多1名同学遇到红灯的概率是________．[答案]1627[解析]P＝(23)4＋C14·(13)·(23)3＝1627.课堂典例探究一射手平均每射击10次中靶4次，求在5次射击中：(1)恰击中1次的概率；(2)第二次击中的概率；(3)恰击中2次的概率；(4)第二、三两次击中的概率；(5)至少击中1次的概率．独立重复试验的概率的求法[解析]由题意，此射手射击1次，中靶的概率为P＝0.4，此射手射击5次，是一独立重复试验．(1)P5(1)＝C15P(1－P)4＝0.2592.(2)事件“第二次击中”，表示第一、三、四、五次击中或击不中均可，它不同于“击中一次”，也不同于“第二次击中，其他各次都不中”，不能用独立重复试验的概率公式．实际上，“第二次击中”的概率就是“射击一次击中”的概率为P＝0.4.(3)P5(2)＝C25P2(1－P)3＝0.3456.(4)P＝0.4×0.4＝0.16.(5)解法一：设“至少击中一次”为事件A，则P(A)＝P5(1)＋P5(2)＋P5(3)＋P5(4)＋P5(5)＝0.2592＋0.3456＋0.2304＋0.0768＋0.01024＝0.92224.解法二：考虑对立事件P(A)＝1－P(A－)＝1－P5(0)＝1－C05(1－0.4)5＝0.92224.[反思总结]本题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留两个有效数字)：(1)5次预报中恰有4次准确的概率；(2)5次预报中至少有4次准确的概率．[解析](1)记“预报1次，结果准确”为事件A.预报5次相当于5次独立重复试验，根据概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率是P5(4)＝C45×0.84×(1－0.8)5－4＝0.84≈0.41.(2)5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即：P＝P5(4)＋P5(5)＝C45×0.84×(1－0.8)5－4＋C55×0.85×(1－0.8)5－5＝0.84＋0.85≈0.410＋0.328≈0.74.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？[分析](1)从对立事件的角度考虑比较容易解决；(2)首先甲射击4次击中目标2次，乙射击4次击中目标3次的事件，两者均为独立重复试验，而这两个事件又为相互独立事件同时发生的概率；(3)依题意后3次射击情形必为：击中、未击中、未击中的分布，而前2次的射击不能为两次都未击中，而这些情形都是相互独立的，故可用相互独立事件同时发生的概率公式求解．[解析](1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(A1)＝1－(23)4＝6581.(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次恰有3次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C24×(23)2×(1－23)4－2＝827，P(B2)＝C34×(34)3×(1－34)4－3＝2764，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝P(A2)×P(B2)＝827×2764＝18.(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1,2,3,4,5)，则P(Di)＝14.由于各事件相互独立，故P(A3)＝P(D5)·P(D4)·P(D3)·(1－P(D1)P(D2))＝14×14×34×(1－14×14)＝451024，即乙恰好射击5次后，被中止射击的概率为451024.[反思总结]该例主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．甲、乙两个同学解数学题，他们答对的概率分别是0.5与0.8，如果每人都解两道题，(1)求甲两题都解对，且乙至少解对一题的概率；(2)若解对一题得10分，未解对得0分，求甲、乙得分相等的概率．[解析](1)P＝C250.52×(C120.8×0.2＋C220.82)＝0.24.(2)两人都得零分的概率为C020.52×C020.22；两人都得10分的概率为C120.52×C120.8×0.2；两人都得20分的概率为C220.52×C220.82.∴P＝C020.52×C020.22＋C120.52×C120.8×0.2＋C220.52×C220.82＝0.33.二项分布的分布列某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击中目标的次数X的概率分布列．[分析]本题是一个独立重复试验问题，其击中目标的次数X的概率分布列服从二项分布，可直接由二项分布得出．[解析]在重复射击中，击中目标的次数X服从二项分布，X～B(n，p)．由已知，n＝4，p＝0.8，P(X＝k)＝Ck4·0.8k·(0.2)4－k，k＝0,1,2,3,4.∴P(X＝0)＝C04·0.80·(0.2)4＝0.0016，P(X＝1)＝C14·0.81·(0.2)3＝0.0256，P(X＝2)＝C24·0.82·(0.2)2＝0.1536，P(X＝3)＝C34·0.83·(0.2)1＝0.4096，P(X＝4)＝C44·0.84·(0.2)0＝0.4096.∴X的分布列为X01234P0.00160.02560.15360.40960.4096[反思总结](1)独立重复试验问题，随机变量X的分布服从二项分布，即X～B(n，p)，这里n是独立重复试验的次数，p是每次试验中某件发生的概率．(2)满足二项分布常见的实例有：①反复抛掷一枚均匀硬币；②已知次品率的抽样；③有放回的抽样；④射手射击目标命中率已知的若干次射击．(2014·四川理，17)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？[解析](1)X可能的取值为：10,20,100，－200.根据题意，有P(X＝10)＝C13×(12)1×(1－12)2＝38