数学建模课件-污水处理

三城镇污水处理方案问题：沿河流有三个城镇1、2和3，地理位置如图所示，污水需处理后才能排入河中，三个城镇或者单独建立污水处理厂，或者联合建厂，用管道将污水集中处理（污水应于河流的上游城镇向下游城镇输送）。试从节约总投资的角度为三个城镇制定污水处理方案。12338km20km河流已知的条件：以Q表示污水量（吨/秒）L表示管道长度（公里）按照经验公式，建立处理厂的费用CT=730Q0.712铺设管道的费用为CP=6.6Q0.51L今已知三个城镇的污水量分别为Q1=5，Q2=3，Q3=5。L的数值如图所示，12338km20km河流共有五种方案方案一：三个城镇都单独处理污水。所需的投资分别为：C(1)=730*50.712=2300，C(2)=730*30.712=1600，C(3)=730*50.712=2300，总投资为：S1=C(1)+C(2)+C(3)=6200。共有五种方案方案二：城镇1、2合作，城镇3单独建厂所需的投资分别为：C(1,2)=730*（3+5）0.712+6.6*50.51*20=3500，低于两城镇单独建厂的费用：C(1)+C(2)=3900，C(3)=730*50.712=2300，总投资为：S2=C(1,2)+C(3)=5800。共有五种方案方案三：城镇2、3合作，城镇1单独建厂所需的投资分别为：C(2,3)=730*（3+5）0.712+6.6*30.51*38=3650，低于两城镇单独建厂C(2)+C(3)=3900C(1)=730*50.712=2300总投资为：S3=C(2,3)+C(1)=5950。共有五种方案方案四：城镇1、3合作，城镇2单独建厂所需的投资分别为：C(1,3)=730*（5+5）0.712+6.6*50.51*58=4630，高于两城镇单独建厂的费用：C(1)+C(3)=4600C(2)=730*30.712=1600总投资为：S4=C(1,3)+C(2)=6230。共有五种方案方案五：城镇1、2、3合作所需的投资分别为：C(1,2,3)=730*（5+3+5）0.712+6.6*50.51*20C6.6*30.51*38=5560总投资为：S5=C(1,2,3)=5560。比较五个方案可知:应该选择三个城镇联合建厂的方案.下面的问题是:如何分担总额为S5=5560万元的费用。分担费用的初步建议：城3的负责人提出（1）联合建厂的费用按三城的污水量之比5：3：5分担，（2）铺设管道应由城1，2担负。12338km20km河流城2的负责人同意并提出从城2到城3的管道费由城1、2按污水量之比5：3分担，从城1到城2的管道费应由城1自己负担。城1的负责人先算了一笔帐：联合建厂的费用是：730*（5+3+5）0.712=4530从城2到城3的管道费“是6.6*（3+5）0.51*38=730从城1到城2的管道费是：6.6*50.51*20=300按上述办法分担时，各城应负担的费用是：17401354530)3(1320837301334530)2(2500300857301354530)1(DDD（结果出乎意料之外，城2和城3的费用都比单独建厂时少，而城1的费用却比单独建厂时还要多！城1的负责人当然不能同意这个方法，但是城1的负责人一时又找不出公平合理的解决办法，为了促成联合建厂的实现，你能为他们提供一个满意的分担费用的方案吗？ShapleyL.S.1953年给出了解决该问题的一种方法，称Shapley值。设I定义为n人集合，s为n人集合中的任一种合作，v(s)为合作s的效益。每一种合作都会得到一定的效益，合作人数的增加不会引起效益的减少。用xi表示I的成员I从合作的最大效益v(I)中应得到的一份收入。x=(x1,x2,……,xn)叫做合作对策的分配，通常有无穷多个分配，满足V(Ø)=0V(s1s2)v(s1)+v(s2),s1s2=Øxi=v(I),xiv(i),I=1,2,……,nShapley首先提出了几条公理：公理1：每人的分配与他被赋予的记号i无关。公理2：若成员i对于他参加的合作都没有贡献，那么他不应从全体合作的效益中获得报酬，另外，各成员分配之和应等于全体合作的效益。公理3：当n人同时进行两项合作时，每人的分配是两项合作的分配之和。Shapley在提出的三条公理基础上，用逻辑推理的方法证明，存在唯一的分配：(v)=(1(v),2(v),……,n(v))!)!1|(||)!|(|)(|,,2,1)]\()(|)[(|nssnswniisvsvswviSsi）（其中Si是I中包含的所有子集，|s|是子集s中的元素数目（人数），w(|s|)是加权因子。例：甲乙丙三人经商，若单干，每人仅获利1元，甲乙合作可获利7元，甲丙合作可获利5元，乙丙合作可获利4元，三人合作则可获利10元，问三人合作时怎样合理地分配10元的收入？s11U21U3Iv(s)17510v(s\1)0114v(s)-v(s\1)1646|s|1223w(|s|)1/31/61/61/3w(|s|)[v(s)+v(s\1)]1/312/32三人经商中甲的分配1(v)的计算1(v)=4（元），同法可计算出2(v)=3.5（元）3(v)=2.5（元）污水处理问题中1(v)的计算s11U21U3Iv(s)040064v(s\1)00025v(s)-v(s\1)040039|s|1223w(|s|)1/31/61/61/3w(|s|)[v(s)+v(s\1)]06.70131(v)=19.7（元），同法可计算出2(v)=32.1（元）3(v)=12.2（元）