数学归纳法,灵璧一中裴恒永

上一页返回首页下一页专题七概率与统计灵璧一中裴恒永2018.1.18数学归纳法灵璧一中裴恒永2018.3上一页返回首页下一页上一页返回首页下一页使得多米诺游戏可以连续运行的条件：（1）第一张骨牌必须能倒下；（2）假若第k张能倒下，必能压倒其后的第k+1张牌。（1）是游戏基础（2）是游戏继续的条件上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理数学归纳法阅读教材P16～P18，完成下列问题.1.数学归纳法的基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：上一页返回首页下一页(1)验证：当n取(如n0＝1或2等)时，命题成立；(2)在假设当时命题成立的前提下，推出当时，命题成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切从开始的正整数n都成立.2.应用数学归纳法注意的问题(1)用数学归纳法证明的对象是与有关的命题.(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3)步骤(2)的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立”为条件.第一个值n0n＝k(n∈N＋，k≥n0)n＝k＋1n0正整数n上一页返回首页下一页判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.()【答案】(1)×(2)×(3)√上一页返回首页下一页[小组合作型]用数学归纳法证明等式(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝（n＋3）（n＋4）2(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是()A.1B.1＋2C.1＋2＋3D.1＋2＋3＋4上一页返回首页下一页(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________.【导学号：94210022】上一页返回首页下一页【自主解答】(1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.(2)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)·(k＋2)…(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以f（k＋1）f（k）＝（2k＋1）（2k＋2）k＋1＝2(2k＋1).【答案】(1)D(2)2(2k＋1)上一页返回首页下一页数学归纳法证题的三个关键点1.验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.2.递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.上一页返回首页下一页3.利用假设是核心在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.上一页返回首页下一页[再练一题]1.下面四个判断中，正确的是()A.式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1B.式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋kC.式子1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋12＋13D.设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋1(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4上一页返回首页下一页【解析】A中，n＝1时，式子＝1＋k；B中，n＝1时，式子＝1；C中，n＝1时，式子＝1＋12＋13；D中，f(k＋1)＝f(k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1.故正确的是C.【答案】C上一页返回首页下一页考向一数学归纳法证明恒等式例1用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，11×3＋13×5＋…＋12n－12n＋1＝n2n＋1.上一页返回首页下一页[证明](1)当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＝k2k＋1，则当n＝k＋1时，11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＋12k＋12k＋3上一页返回首页下一页＝k2k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋3＋12k＋12k＋3＝2k2＋3k＋12k＋12k＋3＝k＋12k＋3＝k＋12k＋1＋1，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．上一页返回首页下一页[学以致用]1.[2013·青岛调研]用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)．上一页返回首页下一页证明：(1)当n＝1时，左边＝2＝右边，等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，则当n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·2(2k＋1)＝2k·2(2k＋1)·1·3·5…(2k－1)＝2k＋1·1·3·5…(2k－1)·[2(k＋1)－1]∴当n＝k＋1时等式也成立．由(1)、(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．上一页返回首页下一页例1(1)用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n22n－12n＋1＝nn＋122n＋1(n∈N*)．上一页返回首页下一页解析①当n＝1时，左边＝121·3＝13，右边＝1×1＋12×2×1＋1＝13，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k≥1)时，等式成立．即121·3＋223·5＋…＋k22k－12k＋1＝kk＋122k＋1，当n＝k＋1时，左边上一页返回首页下一页＝121·3＋223·5＋…＋k22k－12k＋1＋k＋122k＋12k＋3＝kk＋122k＋1＋k＋122k＋12k＋3＝kk＋12k＋3＋2k＋1222k＋12k＋3＝k＋12k2＋5k＋222k＋12k＋3＝k＋1k＋222k＋3，所以当n＝k＋1时，命题成立．由①②可得对任意n∈N*，等式成立．上一页返回首页下一页用数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n1324(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是__________.(2)证明：不等式1＋12＋13＋…＋1n2n(n∈N＋).上一页返回首页下一页【精彩点拨】(1)写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋1时左边的式子，比较即可.(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度.上一页返回首页下一页【自主解答】(1)当n＝k＋1时左边的代数式是1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2，增加了两项12k＋1与12k＋2，但是少了一项1k＋1，故不等式的左边增加的式子是12k＋1＋12k＋2－1k＋1＝1（2k＋1）（2k＋2）.【答案】1（2k＋1）（2k＋2）上一页返回首页下一页(2)证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边右边，不等式成立.②假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k2k.则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋12k＋1k＋1＝2kk＋1＋1k＋1上一页返回首页下一页（k）2＋（k＋1）2＋1k＋1＝2（k＋1）k＋1＝2k＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立.由①②可知，原不等式对任意n∈N＋都成立.上一页返回首页下一页[再练一题]2.试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式.上一页返回首页下一页【证明】①当n＝2时，12＋1＋12＋2＝7121324.②假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时不等式成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋12k1324，那么当n＝k＋1时，1k＋2＋1k＋3＋…＋12（k＋1）＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋1k＋1－1k＋1上一页返回首页下一页＝1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2－1k＋11324＋12k＋1＋12k＋2－1k＋1＝1324＋12k＋1－12k＋2＝1324＋12（2k＋1）（k＋1）1324.这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立.由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立.上一页返回首页下一页考向二数学归纳法证明不等式例2用数学归纳法证明：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．上一页返回首页下一页[证明](1)当n＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，即命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k，则当n＝k＋1时，上一页返回首页下一页1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k1＋k2＋2k·12k＋1＝1＋k＋12.又1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k12＋k＋2k·12k＝12＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．上一页返回首页下一页提素能高效训练抓主干知识回扣研考向考点探究高三总复习数学（理）隐藏山东金太阳书业有限公司菜单例2求证：当n≥1(n∈N*)时，(1＋2＋…＋n)1＋12＋13＋…＋1n≥n2.用数学归纳法证明不等式(师生共研)证明(1)当n＝1时，左边＝右边，命题成立．当n＝2时，左边＝(1＋2)1＋12＝9222，命题成立．上一页返回首页下一页提素能高效训练抓主干知识回扣研考向考点探究高三总复习数学（理）隐藏山东金太阳书业有限公司菜单(2)假设当n＝k(k≥2)时命题成立，即(1＋2＋…＋k)1＋12＋…＋1k≥k2.则当n＝k＋1时，有左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]·1＋12＋…＋1k＋1k＋1＝(1＋2＋…＋k)1＋12＋…＋1k＋(1＋2＋…＋k)·1k＋1＋(k＋1)1＋12＋…＋1k＋1≥k2＋k2＋1＋(k＋1)1＋12＋…＋1k.∵当k≥2时，1＋12＋…＋1k≥1＋12＝32，∴左边≥k2＋k2＋1＋(k＋1)×32＝k2＋2k＋1＋32(k＋1)2.这就是说当n＝k＋1时，命题成立．由(1)、(2)可知当n≥1(n∈N*)时原命题成立．上一页返回首页下一页归纳——猜想证明已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝Snn（2n－1）且a1＝13.(1)求a2，a3；(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明.【精彩点拨】(1)令n＝2，3可分别求a2，a3.(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想an，再用数学归纳法证明.上一页返回首页下一页【自主解答】(1)a2＝S22（2×2－1）＝a1＋a26，a1＝13，则a2＝115，类似地求得a3＝135.(2)由a1＝11×3，a2＝13×5，a3＝15×7，…，猜得：an＝1（2n－1）（2n＋1）.证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；上一页返回首页下一页②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝1（2k－1）（2k＋1），那么，当n＝k＋1时，由题设an＝Snn（2n－1），得ak＝Skk（2k－1），ak＋1＝Sk＋1（k＋1）（2k＋1），所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)1（2k－1）（2k＋1）＝k2k＋1，上一