1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)

第一章三角函数§1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)我们的目标是：学好数学！知识点一用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)图象思考如何用“五点法”作出y＝Asin(ωx＋φ)的图象？我们的目标是：学好数学！例1(1)利用“五点法”画出函数y＝sin12x＋π6在长度为一个周期的闭区间上的简图.解先列表，后描点并画图.12x＋π60π2π3π22πx－π32π35π38π311π3y010－10知识点一用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)图象(2)说明该函数的图象是由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的.解把y＝sinx的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到y＝sinx＋π6的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin12x＋π6的图象.或把y＝sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin12x的图象，再把所得图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y＝sin12x＋π3，即y＝sin12x＋π6的图象.我们的目标是：学好数学！解令X＝2x－π6，则x变化时，y的值如下表：跟踪训练1请用“五点法”画出函数y＝12sin2x－π6的图象.X0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12y0120－120描点画图：我们的目标是：学好数学！知识点二函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0的有关性质[－A，A]奇偶我们的目标是：学好数学！知识点三函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义A2π2πx我们的目标是：学好数学！类型一已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式.我们的目标是：学好数学！解逐一定参法)由图象知振幅A＝3，又T＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT＝2.由点－π6，0，令－π6×2＋φ＝0，得φ＝π3，∴y＝3sin2x＋π3.我们的目标是：学好数学！若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.反思与感悟(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝2πω，确定ω.(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)我们的目标是：学好数学！跟踪训练2函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω0,0≤φ2π)的部分图象如图，则()A.ω＝π2，φ＝π4B.ω＝π3，φ＝π6C.ω＝π4，φ＝π4D.ω＝π4，φ＝5π4解析由所给图象可知，T4＝2，∴T＝8.又∵T＝2πω，∴ω＝π4.∵图象在x＝1处取得最高点，∴π4＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π4(k∈Z)，∵0≤φ＜2π，∴φ＝π4.C我们的目标是：学好数学！类型三y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用例3已知函数f(x)＝12sin2x＋π6＋54.(1)求f(x)的振幅，最小正周期及单调递增区间；解函数f(x)的振幅为12，最小正周期T＝2π2＝π，由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)，f(x)的单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z).我们的目标是：学好数学！(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；解令2x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，则x＝kπ2＋π6(k∈Z)，所以对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z)；令2x＋π6＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ2－π12(k∈Z)，所以对称中心为kπ2－π12，0(k∈Z).我们的目标是：学好数学！解当sin2x＋π6＝－1，即2x＋π6＝－π2＋2kπ(k∈Z)，所以x＝－π3＋kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为34，此时x的取值集合是x|x＝－π3＋kπ，k∈Z.(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合.我们的目标是：学好数学！有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想.反思与感悟我们的目标是：学好数学！跟踪训练3设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝π8.(1)求φ的值；解2x＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπ2＋π4－φ2，令kπ2＋π4－φ2＝π8，得φ＝kπ＋π4，k∈Z.∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4.我们的目标是：学好数学！(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值.解由(1)知，f(x)＝sin2x－3π4.由2kπ－π2≤2x－3π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)，当2x－3π4＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋5π8(k∈Z)时，函数取得最大值1；当2x－3π4＝2kπ－π2(k∈Z)，即x＝kπ＋π8(k∈Z)时，函数取得最小值－1.同理可得函数的单调递减区间是kπ＋5π8，kπ＋9π8(k∈Z).故函数的单调递增区间是kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z).我们的目标是：学好数学！12341.下列表示函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图正确的是()解析将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所有点向右平移π6个单位长度即得y＝sin2x－π3的图象，依据此变换过程可得到A中图象是正确的.也可以分别令2x－π3＝0，π2，π，3π2，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y＝sin2x－π3的图象.A5我们的目标是：学好数学！2.如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜|φ|＜π2)的图象的一部分，则y的一个解析式为()1234A.y＝2sin1011x＋π6B.y＝2sin1011x－π6C.y＝2sin2x＋π6D.y＝2sin2x－π65我们的目标是：学好数学！解析由图象可知A＝2，T＝22π3－π6＝π，1234∴ω＝2πT＝2.∴2×π6＋φ＝π2，可得φ＝π6.∴y＝2sin2x＋π6.答案C5我们的目标是：学好数学！12343.已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω0)的最小正周期为π，则该函数的图象()A.关于点π3，0对称B.关于直线x＝π4对称C.关于点π4，0对称D.关于直线x＝π3对称解析ω＝2ππ＝2，将x＝π3代入f(x)＝sin2x＋π3，得fπ3＝0，故选A.A5我们的目标是：学好数学！12344.最大值为12，周期为2π3，初相为π6的函数解析式为.y＝12sin(3x＋π6)5我们的目标是：学好数学！∴f(x)＝2sin(π8x＋π4).5.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示.1234(1)求f(x)的解析式；解易知A＝2，T＝4×[2－(－2)]＝16.∴ω＝2πT＝π8，∴f(x)＝2sin(π8x＋φ)，代入(－2,0)得：sin(－π4＋φ)＝0，令－π4＋φ＝0，∴φ＝π4，5我们的目标是：学好数学！1234(2)写出f(x)的递增区间.解由－π2＋2kπ≤π8x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，解得：16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，∴f(x)的递增区间为[16k－6,16k＋2]，k∈Z.5我们的目标是：学好数学！