极值点偏移的判定方法和运用策略-朱红岩(中数参2016-3)

洛，题思想方法２０１６年第３期｜２７ｗｗｗ．２ｈｏｎｇｓｈｕｃａｎ．ｃｏｍ＇…■■■■■—－－■—，中学数学教学参考（上—探究寻源，抓住问题的本质，能使我们居高临下处理极值点偏＃普问题，在教学＋游刃有余。：：：＇’极值点偏雜Ｊ＾Ｍｋ判定方法和运用策略ＷＳＫＢ朱红岩（黑龙江省密山市第一中学）文献［１］中邢友宝老师针对解决函数极值点偏移单调递增（减）区间为ｕ，＾），单调递减（增）区间为问题’归纳总结出处理此类问题的－般策略’笔者？完受益匪浅。文中提出的疑虑问题：对于只有一个极■２值点的可导函数，什么情况下出现极值点左偏，什么／（￡１土￡１）＞０，故而＋５£（“，工。），所以？１＋丑＜情况下出现极值点右偏，笔者也进行了深入研究。本２文给出极值点偏移的判定方法，并总结了运用策略。〉小值”、、工。右（左偏。１判断方法提醒：当“＾１卜０，若巧卜，丑１．１极值点偏移的定义，＿Ｘｌ＋Ｘ？对于函数：ｙ＝／Ｕ）在区间（ａ，６）内只有一个极值／恒成立’则一＾￣二＜（＞）１。’即函数极大点Ｊ：。，方程／Ｕ）＝〇的解分别为且〇＜々＜（小）值点Ｘ。右（左）偏；反之，函数极大（小）值点ｘ０々〈心⑴若＾＾＾关：＾则称函数夕二八：＾在区间左（右）偏。２判定定理２对于可导函数ｙ＝／（：ｃ），在区间（Ａ，ｘ２）上极值点：ｃ。偏移；（２）若＾＾＞ｘ。，则函数（ａ，Ｗ上只有一个极大（小）值点ｘ。，方程￡＆）＝〇的２解分别为：ｃ！、：ｒ２，且ａＯｉ＜〇：２＜６，（１）若／（ｘ！）＜ｊ＝／（ｘ）在区间（心，々）上极值点Ｘ。左偏，简称极值Ｔｌ＋：Ｃ２＾丄、ｔ／（２ｘ。一々），则＾＾＜ｘ。，即函数ｙ＝／（ｘ）在区间点Ｘ。左偏；（３）若＾＾＜々，则函数ｊ＝／（ｘ）在区，、Ｌ也士，丨、估七和、，白，〇、＊＂、、２（Ｘｉ，１２）上极大（小）值点Ｘ。右（左）偏；（２）右／（々）＞间（Ａ，Ｘ２）上极值点：？：〇右偏，简称极值点Ｘ。右偏。ｍ，〇：］＋Ｘ２＾＾ｆ＾ｎ－ｒｍｒ￡（＼女１．２极值点偏移的判定定Ｉ里／（２ｘ〇－ｘ２），！ｉＩｌＪ－＾－＞？）ｘ〇，ＢｐｇｉＣｙ＝／（ｘ）＊判定定理１对于可导函数；ｙ＝／（ｘ），在区间区间（Ａ，ｘ２）上极大（小）值点＿ｒ。左（右）偏。（ａ，６）上只有一个极大（小）值点Ｘ。，方程／（ｘ）＝０的证明：（１）因为对于可导函数：ｙ＝／（ｘ），在区间缻公ａＨｂｎ＾＾上只有一个极大（小＞值点了。，则函数／（工）的单调递增（减）区间为（ａ，：ｃ。），单调递减（增）区间为Ａａｎｓｍｒ、—（Ｘ。，６），由于ａ＜Ｘｉ＜Ｃｒ２＜３，有而＜ｘ。，且２ｘ。一工２＜〇，则丁＜ａ＞）ｘ。，即函数尸／ｕ）在区间ｕ”？又／Ｕｉ）＜／（２：ｒ。—工２），故工１＜２，．。１，所以Ａ）上极大（小）值点Ｘ。右（左）偏；（２）若即函数极大（小）值点Ａ右（左）偏。〇，则＾＾ＸＯｘ。，即函数广／⑴在区间（Ａ，证明略。？ｒ２）上极大（小）值点：ｒ。左（右）偏。２ＪＳ用举例证明：（１）因为可导函数ｙ＝／Ｕ），在区间７抓＂、４４３卜士邱Ｕ，办）上只有一个极大（小）值点Ａ，则函数／Ｕ）的例１函数／⑴－：－了：’与直线＋＞ｆ０２０１６年類期Ｍ■慂想方法．．．—ｗｗｗ．ｚｈｏｎｇｓｈｕｃｏｎ．ｃｏｍ中学数学教学参考Ｌｔ旬１１Ａ（＼ｎｒ、而占ｊｊｔｔｈｂ＿Ｌ函数Ｆ（ｘ）＝／（工。＋Ｘ）一／（Ｘ。一文）；（３）确定函数－Ｔ）交于ＡＵ＂ａ）、ＢＵ，ａ）两点，证明：：１＋々＜２。Ｆ⑴的单调性；⑷结合Ｆ⑶＝０，判較⑴的符号，解法１（运用定义证明）：设工１＜＊３：２，由题意有从而确定／（：ＣＱ＋：Ｃ）、／（Ｘ。一Ｘ）的大小关系。：卜舍Ｘ卜以一｜ｘｉ＝ａ，两式相减整理得：ｎ＋ｘ２伊！２（２０１３＾高考数学湖料文科帛２１题）已４知函数／Ｕ）＝＾Ｊｅ％—ｘｚ－＼－Ｘｚ）＝－＝—（ｉ＞ｌ），？ｃＸ！＋Ｘ２＝（Ｉ）求／（Ｘ）的单调区间；Ｘｉ十工２Ｘｌ（ｎ）证明：当时，々＋々＜０。＋（ｔ２＋￡＋ｌ）解：（Ｉ）函数／Ｕ）在（一％０）上单调递增，在——＝音＋＋Ｘ＾ｙ＜２’即＾＋々＜２。（０，＋⑵）上单调递减。由于仅用ａ难表示Ａ＋Ｘ２，故两式相减，构造用．（ｊ！＾；／（ｉ）：＞，〇＾ａ１／，／（因为／Ｘｘｉ）—／ＸａＭＸｉ），不妨设＂＾ｌ〈Ａ，由（Ｉ）？＝￥表示工１＋工２的函数求解。知（—〇〇，０）、＿ｒ２ｅ（〇，１），设Ｆ（：ｒ）＝／（Ｘ）—解法２（运用判定定理１证明）：设；＾＜１２，ｆ（￣ｘ）＝２［（１一ｘ）ｅｆ一（ｌ＋ｄｅ－１］，〇：６（０，１），／＇（ｘ）＝４＿ｒ３—４工２，函数／（；ｃ）＝ｘ４—音乂的单调递减ＧＣｒ）＝（ｌ—ｊＯｅｉ－ａ＋ｄｅ＇ｔｆＵｈ－Ｊｃｅ—Ｙｅ２１—；！），区间为（一ｍ，ｌ），单调递增区间为（１，＋〇〇），又々＋当（〇，１）时，Ｇ＇ＵＸＯ’ＧＯ）在（０，１）上单调递４减。从而ＧＵ）＜Ｇ（０），即ＦＵ）＜０。也就是当：ｃ６—ｙＣｄ＋ｘｍ＋ｊｔｌ）＋７：＿（ｘｆ－ｊ｜）２（０’１）时，／Ｕ）＜／（＿：ｃ），又（〇，１），所以／（工２）〈ＸｚＸ？＋ａＪ＇＊＼２＾３＾＋ｊｉ）／（—工２），故／（工１）＜／（—工２）。．因为工１、一工２６．ｎＡｘ＾＋ｘ２，＾Ｈｎ丄（―〇〇，０），函数／（Ｘ）在（一〇〇，０）上是单调递增，所以〇’则＾￣＜１’ＢＰ４＋：２＜２。Ａ＜－工２，即：＾＋１２＜０。判勝＋工２）卜ｎ的平ｒ｜Ｈ，Ｍ叶ｍｉＶｉＰ丁判定定理２是解决极值点偏移问题的重要方法，判断／（ｙＰ雛对称函数是解决极值点偏移问题的通用方法。等式放缩法。当然，也可构造函数求解。３．１．２构造比较函数解法３（运用判定定理２证明）：设而＜而，函数运用定义或判定定理１解极值点偏移问题，常把／（工）＝：ｃ４—的单调递减区间为（一〇〇，１），单调而＋而转化为ｆ的函数，常设ｆ＝—、ｉ＝ｌｎ全“＝Ｊ工１Ｘｉ递增区间为（１，＋〇〇），有々＞１，设Ｆ（；ｃ）＝／（ｌ＋：ｃ）—而一心等，这种构造方法我们称之为构造／（Ｉ一：ｃ），ｉ＾（ｘ）＝８（３：ｒ２—２；ｒ＋ｌ）〉０，故Ｆ（ｘ）单调比较函数法。递增区间为（一ｗ，＋ｃ〇），又Ｆ（０）＝０，所以当ｉ＞０例３（２０１０年高考数学天津卷理科第２１题）已时，ＦＣｒ）＞Ｆ（０）＝０，即＿ｒ＞０时，／（ｌ＋ｘ）＞／（ｌ＿ｘ）。知函数／Ｕ）＝ｘｅ—工Ｒ）。／Ｏｎｈ／ｈｈ／ｄ＋Ｕ—ｌ））〉／＾－：＾），又而＜（Ｉ）求函数／（ｚ）的单调区间及极值；１，２—心＜１，又函数／Ｕ）＝，一＋ｘ３单调递减区间（Ｈ一ｎ、、ｔ：ＢＢ‘？５（冚）如果：￡：１＃；！：２，且／（工１）＝／０２），证明工１＋为（一〇〇，１），所以Ｘｌ＜２—：ｃ２，即Ａ＋ｘ２＜２。ｘ｛＞１。运用判定定理２解决极值点偏移的关键是构造解：（Ｉ）、（ｎ）略。函数，构造函数ｆｃｚ）＝／（ｉ＋ｘ）—／（ｉ－：ｃ）为此题的＇（瓜）证明：由（Ｉ）知是难点。函数／Ｕ）的极值点，且〇＜心＜１＜Ｘ２，已知而关而，１ｈｋｉｍ－ｔＭ＊且／（Ａ）＝／（ｘ２），有Ａｅｌ＝：ｃ２ｅ＿；＾，即ｅ、＋Ｊ：２＝３处理方法＾？，设ｅ＿ｉｉ＋５＝仓＝心〉１），有Ｘ２＝咏，且一々＋工２＝从例１的三种解法中可看出，极值点偏移是解决＆＆二元变量范围问题的常用方法。解决的主要方法有ＩｎＵ＋士）产＼〇＞１），设ｇ⑴＝（ｆ＋上）ｌｎ１函数法、不等式放缩法。例１的解法１、解法３为构造ｆ—１ｆ—１函数法，解法２为不等式放缩法。（ｆ—１）（１＋＋）—２１＾３．１构造函数法（〇＞ｉ），则§＇（〇＝ｎ）２（ｔ＞ｉ）。设３．１．１构造对称函数”、，＾“，１、〇１＋，，，、＿“一Ｉ）２、。运用判定定理２判定极值点偏移方法为：／ｉ（ｔ）＝“一１）（１＋了）＿２１ｎｔ，有（？）＝—＾－＞０，（１）求出函数／（ｘ）的极值点：＾。；（２）构造一元差（下转第３４页｝■＾７］２０１６年敷期。，…ｗｗｗ．ｚｈｏｎｇｓｈｕｃｏｎ．ｃｏｍ￣￣Ｉ中学数学教学参考Ｉ上旬１屯＝｜＾３＝令，且当众２时，４５？＋２＋５５？＝８５？＋１＋５？＿１。〇；＋３ｔ依次成等比数列？并说明理由。２４设计意图：这是２０１５年高考数学江苏卷压轴题，（Ｉ）求？的俥；综合考查等差数列、等比数列的定义、性质及证明，并（ＩＩ）证明：｜？＋］—＋？｝为等比数列；巧妙地融入“函数与方程”的思想，使论证达到一定的深度，使问题有一定的难度。．＊，４■在本太绝Ｕ＾ＴＴ丨１＊１维老＊ｆｒＳ丨丨ｔｏｅ０／ｆｃ、Ｓ将第（ＩＩ）（ＩＥ）问设计成是否存在型”问题，使求设计意图：考査等比数列和等差数列的定乂与通古択由ｌｉｎ秘协叫田太士项公式，变形过程有一定的难度，将“ｓ？的递推关系性查力式”转化为“？的递推关系式”是麵的核心步骤。解綱学生若不注意关键条件“？＞２”，不对“ｎ＝ｌ”隨额存在型问题主要Ｊ／？意于对发散心维能力形进行验证，就会造成解题的缺麵被扣分。题目６（２０１５年高考数学江苏卷第２０题）设结论、变结论为条件出发，并注重挖掘题设条件，活用々、？、＆、？是各勸疏且公差为⑶＃０）的等差腿雖来启迪麟，翻鹏，探誠功后再给出严格的论证。应对等差数列、等比数列的综合性问＾Ｉ）证明：２？，２－２，２々，２？依次成等比数列；题，不仅要会运用等差数列、等比数列的概念、公式与（ｎ）是否存在？、ｄ，使得依次成等性质去直接破解，更要会动用“方程与函数、转化与化比数列，并说明理由；归、分类讨论”等数学思想与方法巧妙化解，从而既准（皿）是否存在￡１１、＾及正整数７１、々，使得＾？，的＋＊，更稳、又好又快地达成“解题效能的最大化”。Ｈ－一Ｊ—？－－－ｆ—Ｈ—（－－－１１－一ｉ－－－１１－一卜？＾？ＨＩｉ？－－－１—ｉ－－－（－－－１－一＜—？Ｉ—ｔ－一Ｈ—？—Ｉ－一Ｋ－Ｈ－－－Ｋ＂ｆｔｔ－一ｈ—４Ｋ－Ｈ一－１一》？Ｉ－一ｈ－＋．ｉ±ｍ＾２ｓｍ）ｅｔ＜ＥＵ，６）＜？！＾，此不等式称为指数不等式。所以ＡＷＳＫＤｓＯ，即ｇ＇⑴＞０，故ｇ⑴〉尽（１）＝２．，丄丄１例４设函数／（ｘ＾ｅｉ—ａｘ＋ａＵＧＲ），其图像，化’十“十工）了ｌｉｍ、卜Ｊ＝ｌｉｍ＾＝２，即＋ｘ２＞２。与ｘ轴交于Ａ，０）、Ｂ（ｊ：２，０）两点，且ｘ１＜ｘ２。３．２不等式放缩（Ｉ）求ａ的取值范围；极值点偏移问题中，函数中多有形如ｙ和ｉｎ工（ｎ）证明：／（ｖ＾ｒ）＜〇。的式子，所以很难用到基本不等式，但可以利用对数解：（；［）／＆）＝＃＿？，当ａ＜〇时，／＆）＞〇，函平均不等式和指数不等式放缩求解。＂、且》、困＃丈么ＳＪｆｌ＾．ｎｎ４〇〇，．＾＾Ｖ数／（Ｚ）是单调递增函数，不合题意。当ｄ＞０时，可ｄ．１对数千均不评＇式定义：两个正数ａ、６的对数平均ＬＵ，６）＝求得函数／Ｕ）在（＿°〇’Ｉｎａ）上单调递减，在（Ｉｎ．ａ，ｒｇ－ｂ＋〇〇）上单调