平面向量知识点总结及练习

平面向量一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么（向量可以平移）。如：已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||ABAB)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点ABC、、共线ABAC、共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如：下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若,abbc，则ac。（6）若//,//abbc，则//ac。其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiyjxy，称,xy为向量a的坐标，a＝,xy叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。如（1）若(1,1),ab(1,1),(1,2)c，则c______（答：1322ab）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.12(0,0),(1,2)eeB.12(1,2),(5,7)eeC.12(3,5),(6,10)eeD.1213(2,3),(,)24ee（答：B）；（3）已知,ADBE分别是ABC的边,BCAC上的中线,且,ADaBEb,则BC可用向量,ab表示为_____（答：2433ab）；（4）已知ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，ACsABrCD，则sr的值是___（答：0）四．实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1,2aa当0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反，当＝0时，0a，注意：a≠0。五．平面向量的数量积：1．两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作,OAaOBb，AOB0称为向量a，b的夹角，当＝0时，a，b同向，当＝时，a，b反向，当＝2时，a，b垂直。2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量||||cosab叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ab，即ab＝cosab。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC中，3||AB，4||AC，5||BC，则BCAB_________（答：－9）；（2）已知11(1,),(0,),,22abcakbdab，c与d的夹角为4，则k等于____（答：1）；（3）已知2,5,3abab，则ab等于____（答：23）；（4）已知,ab是两个非零向量，且abab，则与aab的夹角为____（答：30）3．b在a上的投影为||cosb，它是一个实数，但不一定大于0。如已知3||a，5||b，且12ba，则向量a在向量b上的投影为______（答：512）4．ab的几何意义：数量积ab等于a的模||a与b在a上的投影的积。5．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：①0abab；②当a，b同向时，ab＝ab，特别地，222,aaaaaa；当a与b反向时，ab＝－ab；当为锐角时，ab＞0，且ab、不同向，0ab是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，ab＜0，且ab、不反向，0ab是为钝角的必要非充分条件；③非零向量a，b夹角的计算公式：cosabab；④||||||abab。如（1）已知)2,(a，)2,3(b，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：43或0且13）；（2）已知OFQ的面积为S，且1FQOF，若2321S，则FQOF,夹角的取值范围是_________（答：(,)43）；（3）已知(cos,sin),(cos,sin),axxbyya与b之间有关系式3,0kabakbk其中，①用k表示ab；②求ab的最小值，并求此时a与b的夹角的大小（答：①21(0)4kabkk；②最小值为12，60）六．向量的运算：1．几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,ABaBCb，那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；②向量的减法：用“三角形法则”：设,,ABaACbabABACCA那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如：（1）化简：①ABBCCD___；②ABADDC____；③()()ABCDACBD_____（答：①AD；②CB；③0）；（2）若正方形ABCD的边长为1，,,ABaBCbACc，则||abc＝_____（答：22）；（3）若O是ABC所在平面内一点，且满足2OBOCOBOCOA，则ABC的形状为____（答：直角三角形）；（4）若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足0PABPCP，设||||APPD，则的值为___（答：2）；（5）若点O是ABC△的外心，且0OAOBCO，则ABC△的内角C为____（答：120）；2．坐标运算：设1122(,),(,)axybxy，则：①向量的加减法运算：12(abxx，12)yy。如：（1）已知点(2,3),(5,4)AB，(7,10)C，若()APABACR，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：12）；（2）已知1(2,3),(1,4),(sin,cos)2ABABxy且，,(,)22xy，则xy（答：6或2）；（3）已知作用在点(1,1)A的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)FFF，则合力123FFFF的终点坐标是（答：（9,1））②实数与向量的积：1111,,axyxy。③若1122(,),(,)AxyBxy，则2121,ABxxyy，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设(2,3),(1,5)AB，且13ACAB，3ADAB，则C、D的坐标分别是__________（答：11(1,),(7,9)3）；④平面向量数量积：1212abxxyy。如已知向量a＝（sinx，cosx）,b＝（sinx，sinx）,c＝（－1，0）。（1）若x＝3，求向量a、c的夹角；（2）若x∈]4,83[，函数baxf)(的最大值为21，求的值（答：1(1)150;(2)2或21）；⑤向量的模：222222||,||axyaaxy。如已知,ab均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|ab＝_____（答：13）；⑥两点间的距离：若1122,,,AxyBxy，则222121||ABxxyy。如如图，在平面斜坐标系xOy中，60xOy，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OPxeye，其中12,ee分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(,)xy。（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。（答：（1）2；（2）2210xyxy）；七．向量的运算律：1．交换律：abba，aa，abba；2．结合律：,abcabcabcabc，ababab；3．分配律：,aaaabab，abcacbc。如下列命题中：①cabacba)(；②cbacba)()(；③2()ab2||a22||||||abb；④若0ba，则0a或0b；⑤若,abcb则ac；⑥22aa；⑦2abbaa；⑧222()abab；⑨222()2abaabb。其中正确的是______（答：①⑥⑨）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即cbacba)()(，为什么八．向量平行(共线)的充要条件：//abab22()(||||)abab1212xyyx＝0。如(1)若向量(,1),(4,)axbx，当x＝_____时a与b共线且方向相同（答：2）；（2）已知(1,1),(4,)abx，2uab，2vab，且//uv，则x＝______（答：4）；（3）设(,12),(4,5),(10,)PAkPBPCk，则k＝_____时，A,B,C共线（答：－2或11）九．向量垂直的充要条件：0||||abababab12120xxyy.特别地()()ABACABACABACABAC。如(1)已知(1,2),(3,)OAOBm，若OAOB，则m（答：32）；（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，90B，则点B的坐标是________（答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,),nab向量nm，且nm，则m的坐标是________（答：(,)(,)baba或）十．线段的定比分点：1．定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数，使12PPPP，则叫做点P分有向线段12PP所成的比，P点叫做有向线段12PP的以定比为的定比分点；2．的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段P1P2上时0；当P点在线段P1P2的延长线上时－1；当P点在线段P2P1的延长线上时10；若点P分有向线段12PP所成的比为，则点P分有向线段21PP所成的比为1。如若点P分AB所成的比为34，则A分BP所成的比为_______（答：73）3．线段的定比分点公式：设111(,)Pxy、222