对数的运算法则

一般地，如果1,0aaa的b次幂等于N,就是Nab，那么数b叫做以a为底N的对数，记作bNaloga叫做对数的底数，N叫做真数。定义：复习有关性质：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中N0）⑵,01loga1logaa⑶对数恒等式NaNalog复习babalog⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用对数N10log简记作lgN。⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为了简便，N的自然对数Nelog简记作lnN。（6）底数a的取值范围：),1()1,0(真数N的取值范围:),0(复习)()(),()(),(RnbaabRnmaaRnmaaannnmnnmnmnm积、商、幂的对数运算法则：如果a0，a1，M0，N0有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa为了证明以上公式，请回顾一下指数运算法则：新内容证明：①设,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：,paMqaN∴MN=paqaqpaqpMNalog即证得)(1NlogMlog(MN)logaaa证明：②设,logpMa,logqNa由对数的定义可以得：,paMqaN∴qpaaqpaqpNMalog即证得NM)(2NlogMlogNMlogaaa证明：③设,logpMa由对数的定义可以得：,paM∴npnaMnpMnalog即证得)(3R)M(nnlogMlogana上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa①简易语言表达：“积的对数=对数的和”……②有时逆向运用公式③真数的取值范围必须是),0(④对公式容易错误记忆，要特别注意：,loglog)(logNMMNaaaNMNMaaaloglog)(log例1计算（1）)42(log752（2）例题讲解（3）7log23log27+lg25+lg4+7662log3+log4（1）18lg7lg37lg214lg例2计算：解法一：18lg7lg37lg214lg18lg7lg)37lg(14lg218)37(714lg201lg)32lg(7lg37lg2)72lg(2)3lg22(lg7lg)3lg7(lg27lg2lg018lg7lg37lg214lg解法二：例题讲解其他重要公式1:aNNccalogloglog)0),,1()1,0(,(Nca这个公式叫做换底公式证明：设由对数的定义可以得：,paN即证得pNalog,loglogpccaN,loglogapNccaNpccloglogaNNccalogloglog其他重要公式2:abbalog1log),1()1,0(,ba其他重要公式3:NmnNanamloglog例1计算（1）（2）例题讲解27log9（3）272log2log98log7log3log732（4）（5）483log3+log3log24839log3+log3log2+log2例2已知，，求的值.18log9a36log45185ba+b2-a拓展提升将对数形式化为代数形式时忽略范围限制(误区警示)[典例]设lga＋lgb＝2lg(a－2b)，则log4ab的值为________．[变式训练]已知2lg(x＋y)＝lg(2x)＋lg(2y)，则xy＝____.积、商、幂的对数运算法则：如果a0，a1，M0，N0有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa其他重要公式:NmnNanamloglogaNNccalogloglog)0),,1()1,0(,(Nca1loglogabba),1()1,0(,ba小结