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地球外部重力场理论基础第一章、绪论第二章、位理论基础2.1、引力、引力位及其基本性质(引出引力、引力位的基本概念)(单层、球壳、球体的引力与引力位)阐述引力、引力位的基本性质2.2、格林函数及其应用2.3、边值问题及其解唯一性2.4、拉普拉斯方程的球函数解2.5、边值问题的球函数解第三章、地球正常重力场3.1、地球重力与重力位水准面3.2、地球重力的测定方法(陆地、海上、航空重力测量原理)3.3、斯托克斯定理与水准椭球重力位3.3、地球正常重力及其计算公式第四章、斯托克斯边值理论4.1、扰动位、扰动重力、布隆斯公式4.2、重力异常、斯托克斯边值条件与边值问题4.3、斯托克斯边值问题的解(大地水准面差距和垂线偏差)4.4、解的延拓性第五章、重力归算与拟合推估5.1、空间改正、层间改正与局部地形改正5.2、均衡理论与均衡改正5.3、各种重力异常的5.4、重力异常的内插与拟合推估第六章、莫洛金斯基边值理论6.1、高程系统6.2、地面重力异常与莫洛金斯基边值条件6.3、莫洛金斯基边值问题的解法第七章、大地水准面起伏及高程异常的确定7.1、斯托克斯积分公式的改化7.2、大地水准面起伏的快速傅立叶变换计算7.3、GPS水准与大地水准面起伏7.4、卫星测高、海洋大地水准面与重力反演7.5、天文大地垂线偏差与天文重力水准第八章、卫星跟踪卫星资料反演地球重力场8.1、卫星跟踪卫星的发展简史8.2、地球重力场对卫星运行轨道的影响8.3、卫-卫跟踪资料反演地球重力场原理8.4、卫星重力梯度反演地球重力场原理8.5、研究现状与成果第九章、地球重力场的应用9.1、大地测量的应用9.2、地球物理勘探中的应用9.3、其它应用附录一:勒让德函数及其性质第一章绪论地球重力场是大地测量学科的主要研究对象之一,也是地球物理、地质、地震与海洋等学科的重要研究对象和手段。地球重力场反映了地球物质的空间分布及地球的旋转运动,它不仅决定了地球的形状和大小,而且反映了地球表面、内部以及大气和海洋的物质分布、运动和变化。地球重力是单位质点所受的地球引力与离心力的合力,Newton根据他发现的万有引力定律和地球的自转运动,得出地球应该近似于两极扁,赤道隆起的旋转椭球体。此后数百年来,在以Clairaut、Legendre、Laplace、Stokes、Bruns和近代的Molodensky、Marussi、Bjerhammar、Krarup和Moritz为代表的科学家们的辛勤耕耘下,这一学科不断地得到了完善和发展。Stokes的研究成果使地球重力场成为独立的学科,他证明了奠基本学科的定理:地球外部重力场由地球总质量、自转角速度与地球形状唯一确定;也就是说求解外部重力场不需要知道地球内部质量的分布。同时证明了该定理的逆定理:地球的形状由地球总质量、自转角速度与地球表面重力值唯一确定,这一定理为地球表面的重力观测值求解地球形状的奠定了坚实的理论基础,这里的地球形状通常指大地水准面。Molodensky直接以地球自然表面表示地球形状,发展了Molodensky理论,弥补了Stokes理论的缺陷,使解算模型更加完善。长期以来地球形状及其外部重力场的确定都基于其表面(陆地和海洋)的重力观测值。随着空间大地测量的兴起,在陆地用GPS(GlobalPositioningSystem,即全球定位系统)结合精密水准,在海洋通过卫星测高分别可以直接确定陆地与海洋的大地水准面形状。同时,GPS精密定位等相关技术应用使航空重力测量的精度取得了显著提高,能够用于获取恶劣地区的重力资料,填补这些地区的重力空白,极大地丰富了重力观测数据的类型、数量与质量。由于政治、经济和技术条件的限制,用地面重力或航空重力测量方法取得全球基准统一、分辨率均匀的重力资料实际上几乎是不可能的。只有用人造卫星作为传感器才能获取基准统一、分布均匀的全球重力场数据,目前卫星重力已经取得了巨大成功。以前主要通过地面站跟踪卫星,根据卫星轨道的变化来反演地球重力场,由于地面观测站数量的限制,很难以足够的密度获取全球数据;2000年7月发射的CHAMP(CHAllengingMinisatellitePayload)卫星以GPS卫星作为高卫星,采用高低跟踪模式,获取了CHAMP卫星全球连续、均匀覆盖的观测数据,显著地改善了低频重力场的精度;2002年11月成功发射的GRACE(GravityRecoveryAndClimateExperiment)卫星,除高低跟踪外,还以微米级的高精度测定两颗低轨卫星间的距离变化率,使中频重力场的精度又进一步提高了1~2个数量级。采用卫星重力梯度(SGG)观测方式的GOCE(Gravityfieldandsteady-stateOceanCirculationExplorer)卫星计划于2006年发射,采用该卫星的观测数据后,地球重力场的精度和分辨率有望进一步提高。由于重力场信息随着高度的增加快速衰减,卫星重力一般只能计算中、低频的重力场,高频重力场信息陆地还有赖于地面重力数据,海上有望通过高分辨率的卫星测高数据获取。地球科学各学科的发展对重力场精度和分辨率的要求也越来越高,地球各层次的物质分布与重力场模型不同阶次的系数有很好的对应关系:长波对应于地核与下地幔,中波对应于地幔,短波对应于地壳。大地测量要求分辨率为10公里的厘米级精度的大地水准面,以将GPS测得的大地高转换为正常高;为研究地幔的运动和变化,需要尽量精确的中、长波重力场模型,要求中波重力场至少要求具有厘米级精度;卫星轨道的精确计算和预报也需要高精度的中、长波重力场资料;海洋科学需要中尺度的厘米级精度的大地水准面,作为卫星测高数据计算海面地形的基准面,进而确定海洋的洋流、涡旋,分析和预报ENSO现象等,重力场模型已成为卫星测高数据确定高精度海面地形的瓶颈口。地球重力场的空间变化与物质密度的空间变化有紧密的联系,由此发展的重力探矿方法是矿产资源普查的重要手段;地球重力场的随时间的变化反映了地球物质的时变情况,而地球物质运动变化造成的能量积累是诱发地震的重要原因,地震预报要求高精度的中长波重力场的时变信息,因此地球重力场的时变监测与分析已经成为地震监测和预报的重要手段。正是这些学科对高精度重力场模型的要求,促成了CHAMP、GRACE和GOCE等重力卫星项目的实施。预计地球重力场的探测与研究将取得突破性的进展,成为继GPS之后,大地测量学科发展的又一个里程碑。地球重力场是目前人类及地球生物赖于生存与活动的基本物理环境,研究地球重力场的空间分布及其随时间变化,不仅在国民经济中具有重要意义,而且对于研究我们生存环境的变化与灾害预测也具有深远的科学意义。第2章位理论基础有关位理论的研究可以归结为两个问题,一个问题是给定空间物质的密度分布,求该物质分布的引力场,该问题由牛顿提出,也由牛顿解决了,这就是著名的万有引力公式。另一个问题就是给定一个空间τ以及其界面σ,假定已经通过测量获得了界面σ上有关引力的信息,比如说重力观测值,问能否确定τ内部的引力。这里τ可能包含质量,也可能不包含质量。这后一个物体就是重力场研究中的边值问题,是重力学研究的核心内容。以上两个问题用引力位函数来表示要比直接用引力表示要简便的多,这是因为引力位是一个数量函数,而引力是一个矢量函数。重力场中的边值问题,通常都是关于解引力位的边值问题。2.1引力、引力位及其基本性质如图2.1所示,根据牛顿万有引力,质量m对质量m′的引力为:3rrmmfFrr′−=(2.1)这里,f是万有引力常数,rr是由m指向m′的矢径。当1=′m时,3rrmfFrr−=(2.2)下面我们专门讨论质量m对单位质量的引力。引力Fr在三个坐标轴上的分量可以下式表示:()()()czrmfFbyrmfFaxrmfFzyx−−=−−=−−=333(2.3)定义:如果有一个标量函数,它在被吸引点处对各坐标分量的导数恰好等于引力在相应坐标轴上的分量,则称该标量函数为引力位函数。不难验证对于质点m的引力(2.2)式,存在如下引力位函数,简称引Z()cba,,()zyx,,m′mXYrrO图2.1直角坐标系中万有引力示意图力位,一般用V表示:rmfV=(2.4)质点系引力位在图2.1中,如果有n个质点存在,其质量分别位nmmm,......,,21,它们离被吸引点的距离分别位nrrr,......,,21,则该质点系对P点的总引力位为:∑==niiirmfV1(2.5)这可以从引力的可叠加性直接推出。质体引力位通常吸引质量不是一个质点(只有当离吸引质量很远时,才把它视作质点),它占据一定的空间τ(如图2.2),此时P点的引力位要通过对质体占据空间的积分来计算,即:τδττdrfrdmfV∫∫==(2.6)式中,δ表示密度分布函数。离心力位如图2.3,设z轴为自转轴,则离心力位为:()θρωω222222sin2121=+=yxQ(2.7)不难验证该式对yx,的偏导,恰好等于离心力在yx,轴上的分量。X()zyx,,Pτd),,(cbaδδ=ZY图2.2质体的引力位22yx+()zyx,,Pθρλxyz图2.3离心力位重力位由于地球表面的重力定义位引力和离心力之和,所以,地球重力位等于引力位和离心力位之和。即:θρωτδτ222sin21∫+=+=drfQVW(2.8)下面介绍几种简单形体的引力位和引力。均质球面的引力位和引力设有一半径为R,面密度为µ的均质球面,如图2.4,建立球坐标系,则离球心为ρ的P点处的引力位为:∫∫∫∫===πππσψψµπψψλµσµ022002sin2sindrRfdrRdfdrfV另一方面,由三角形余弦定理得:ψρρcos2222RRr−+=两边微分得:ψψρdRrdrsin=所以,drRdrRρψψ=sin2利用该式对上述引力位积分作变量代换,为此我们分P点在球面内或球面外来进行。当P点位于球面外部时:Rr−==ρψ,0时,Rr+==ρπψ,时,所以外部引力位为:ρρµπρµπρρMfRfdrRfVRRe===∫+−242(2.9)这里µπ24RM=,是均质球面的总质量。当P点位于球面内部时:ρψ−==Rr,0时,ρπψ+==Rr,时,所以内部引力oRrρψψRdλψdRsinσdPλψψσddRdsin2=σ图2.4均质球面的引力位为:RMfRfdrRfVRRi===∫+−µπρµπρρ42(2.10)可见均质球面的内部引力位是一个常数。由于均质球面的对称性,其引力必定是在ρ方向上,因此只要由(2.9)及(2.10)式对ρ求导,就可以求得均质球面的外部和内部的引力,记eFr和iFr,很显然,3224ρρρρρµπρrrrfMRfVFee−=−=∂∂=(2.11)式中负号表示引力方向与矢径ρr的方向相反。0=∂∂=ρiiVFr(2.12)对照(2.9)、(2.10)式,以及(2.11)、(2.12)式,可以得出结论:在穿过球面时,均质球面的引力位是连续的,但引力不连续。均质球体的引力位和引力如图2.5,均质球体的体密度为δ。我们可以利用上面均质球面的结果来求均质球体的引力位和引力。为此,将均质球体看作是一族同心的均质球面,则面密度和体密度之间的关系为:'dRδµ=。当计算球体外部引力为时,我们利用(2.9)式,得:ρρδπρδπMfRfdRRfVRe===∫34430'2'(2.13)这里,334RMπδ=,是球体的总质量。RPρ图2.5均质球体外部的引力位和引力当计算球体内部引力为时,内部点P将球体分成球壳和内部球两部分,如图2.6所示。此时,P点的引力位等于球壳部分的引力位1V和内部球的引力位0V之和。对于内部球的引力位0V可直接用上面的球体外部引力位公式(2.9)来计算;而球壳可以看作由许多个球面组合而成的,其引力位1V可以利用上述球面内部位的公式(2.10),通过积分来求得,即:2034ρδπ′=fV(2.14))(24422'''''2'1ρδπδπδπρρ′−===∫∫′RfdRRfRdRRfVRR所以,均质球体的内部位为:)3(322210ρδπ′−=+=RfVVVi(
本文标题:地球外部重力场理论基础
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