信号与系统奥本海姆课件第10章

第10章Z-变换TheZ-Transform本章主要内容1.Z变换及其收敛域ROC。2.ROC特征，各类信号的ROC，零极点图3.Z反变换，部分分式展开与进行反变换。4.由零极点图分析系统的特性。5.常用信号的Z变换，Z变换的性质。6.用Z变换表征LTI系统，系统函数，LTI系统的Z变换分析法，级联与并联型结构。7.单边Z变换，增量线性系统的分析。Z变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅立叶变换（DTFT）的推广。Z变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。当然，Z变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。10.0引言(Introduction)nnznxzX§10.1TheZ-Transform(Z变换)zXnxZnrnxzXFChapter10TheZ-TransformzROC1jezjzXeX01Z-plane1zunitcircleROC当时，即为离散时间傅立叶变换这表明：DTFT就是在单位圆上进行的Z变换。1rjzejzre其中是一个复数nnznxzX][)(nnnjnjrnxFernxreX][][)(可见：对做Z变换就等于对做DTFT，因此，Z变换是对DTFT的推广][nxnrnx][Chapter10TheZ-TransformExample10.1nuanxn111aznuanZaz0aExample10.21nuanxn1111aznuanZaz0aazZ变换与DTFT一样存在着收敛的问题。1.并非任何信号的Z变换都存在。2.并非Z平面上的任何复数都能使收敛。Z平面上那些能使收敛的点的集合，就构成了的ROC。()Xz()Xz()Xz§10.2TheRegionofConvergencefortheZ-Transform(Z变换的ROC)101()1nnnXzazaz11az即za111aznuaZn][时，1a][][nunx1111zznuZ，][0aExample10.1nuanxnza即1111aznuaZn][11111111][)(azzazazazaznxzXnnnnnnnnExample10.21nuanxn0aazChapter10TheZ-TransformExample10.3nununxnn2/163/172/13/12/3zzzzzX21z0213123Z;xnXzROC1）Z变换由代数表达式和收敛域组成；2）例1和例2的零极点图和收敛域如图所示.3）如果X(z)的ROC包括单位圆，则x[n]的DTFT存在。说明：a1ReZ平面单位圆Im例2单位圆1ImReZ平面a例1假定10a此时，ROC不包括单位圆，所以不能从简单通过将得到。()Xzzje()jXeImReZ平面1x[n]=u[n]的ROC：Chapter10TheZ-Transform§10.2ThePropertiesofTheRegionofConvergencefortheZ-Transform(Z变换收敛域的性质)：Property1:TheROCofX(z)consistsofaringinthez-planecenteredabouttheorigin.X(z)的ROC是在Z平面以O为心的圆环nrnxzXFnnxnrProperty2:TheROCdoesnotcontainanypoles.ROC内不包含任何极点；Chapter10TheZ-TransformProperty3:Ifisoffiniteduration,thentheROCistheentirez-plane,exceptpossiblyz=0and/orz=∞.如果x[n]是有限长序列，thenROC是整个Z平面，可能除去z＝0或\和z＝∞点。这些使X(z)不收敛的点。nx21;,0NnNnnx21NnnNxnrnNnnNnznxznxzX2101positivepowersofznegativepowersofzROCzN0①1ROC②002zNChapter10TheZ-TransformExample10.6NnunuanxnazzazzXNNN1kjNNjeare2Nkjωark/2Zeros:(N-1)storderpolea0zExample10.5n0zZ1nnnzProperty4:Ifisrightsided,1,0NnnxnxChapter10TheZ-TransformROC0rROC0rzmaxrzIfisrightsided,nx01NFurthermore,ifROCz如果x[n]是一个右边序列，并且的圆位于收敛域内，那么的全部有限Z值都一定在这个收敛域内。0rz0rz01NIfisnotcausal,nxnnnNnznxznxzX011positivepowersofzChapter10TheZ-TransformExampleNnuanxnnnNnzazXNmmNmnaz10111azazzXNazN0①zazNand0②Property5:Ifisleftsided,1,0NnnxnxChapter10TheZ-TransformROC0rROC0rzminrzIfisleftsided,nx01NFurthermore,ifROCz0如果x[n]是一个左边序列，并且的圆位于收敛域内，那么的全部有限Z值都一定在这个收敛域内。0rz00rz01NIfisnotanticausal,nxnNnnnznxznxzX110negativepowersofzChapter10TheZ-TransformExampleNnuanxnnnNnzazXmNmmnza1zazazXN11100①NNNkkNkmza10az00NN②az0Chapter10TheZ-TransformProperty6:Ifistwosided,nxROC0r021rrzrTheROCofX(z)is如果x[n]是一个双边边序列，并且的圆位于收敛域内，那么该收敛域在z域中一定包含这一圆环的环状区域。0rz0rzExample10.70bbnxn,1nubnubnxnn1111zbbz1111bzbz10b②1111111zbbzzX1b①X(z)doesnotexist.bzb1在时，两个子收敛域无公共部分，表明此时不存在。1b()Xz111()1(1)(12)3Xzzz1/32ReIm0(2)零点：121,23zz0z（二阶）在有限Z平面上极点总数与零点总数相同极点：若其ROC为：12z则为右边序列，且是因果的，但其傅立叶变换不存在。()xnExample时x[n]是左边序列，且是反因果的，其傅立叶变换不存在。213z时x[n]是双边序列，其傅立叶变换存在。3123zROC是否包括z=0,是x[n]是否反因果的标志。ROC是否包括|z|=∞，是x[n]是否因果的标志。Chapter10TheZ-Transform11211131zzzXExample23/12zzz2z①isrightsidednx023102310231231z②istwosidednxisleftsidednx31z③Chapter10TheZ-TransformnrnxzXFzROC1jezjzXeXZ;xnXzROCChapter10TheZ-TransformBasicZ-Transformpairs（基本z变换对）:01znZ111aznuanZaz1111aznuanZaz111znuZ1z1111znuZ1z其他性质•（8）ifX(z)是有理的，X(z)的ROC总是被极点和无限远点界定；•（9）ifX(z)是有理的，且x[n]是右边序列，ROC位于Z平面内最外层极点的外边；•10））ifX(z)是有理的，且x[n]是左边序列，ROC位于Z平面内最里层非零极点的里边；例.()xn,01,nanN0a0,其他n11101()1()NNNNNnnNnazzaXzazazzza极点：za（一阶）0z（N－1阶）零点：2jkNzae(0,11)kNjImzRez(8)Naa0(1)NROC:0z在处，零极点抵消，使有限z平面内无极点。za当时，在的展开式中，只有z的负幂项，故z不能为0，但可以取。()Xz210NN当时，在的展开式中，只有z的正幂项，故z不能为，但可以取0。210NN()Xz当时，在的展开式中，既有z的正幂项，也有负幂项，故z既不能为也不能取0。210,0NN()Xz一般：21NnNnx，][例：考虑单位脉冲序列δ[n]的Z变换ROC：除z＝0外的Z平面ROC：除z＝∞外的Z平面ROC：整个Z平面，即|z|∞10.3Z-反变换令jzrejdzjredjzd一.Z-反变换：TheInverseZ-Transform当ω从0→2π时，z沿着ROC内半径为r的圆变化一周。1.部分分式展开法：1()1iiiAXzaz其中C是ROC中逆时针方向的圆周。二.反变换的求取：当X(z)是有理函数时，可将其展开为部分分式Partial-FractionExpansion步骤：1.求出X(z)的所有极点aj；2.将X(z)展开为部分分式；3.根据总的ROC，确定每一项的ROC；4.利用常用变换对和Z变换性质求出每一项的反变换。1112()111143Xzzz1ROC2ROC1ROC:||1/4z2ROC:||1/3z例1：111536()11(1)(1)43zXzzz1143z将X(z)展开为部分分式有：例2：zzzzX032412，)(00nZznn][]1[3][2]2[4][nnnnx2.幂级数展开法:（长除法）由X(z)的定义，将其展开为幂级数，有()()(1)nXzxnzxz12(0)(1)(2)()nxxzxzxnz展开式中z-n项的系数即为x[n]。当X(z)是有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为幂级数。由于右边序列的展开式中应包含无数多个Z的负幂项，所以要按降幂长除。由于左边序列的展开式中应包含无数多个Z的正幂项，所以要按升幂长除。双边序列先将其分成分别对应信号的右边和左边的两部分，再分别按上述原则长除。Chapter10TheZ-Transform111azzXazExamp