南京市初三数学竞赛选拔试题及答案

南京市初三数学竞赛选拔试题（本卷满分：120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题5分、共40分）1、方程|xy|+|x+y|=1的整数解的组数为（）。（A）8(B)6(C)4(D)22、菱形的两条对角线之和为L,面积为S,则它的边长为().(A)2124LS(B)2124LS(C)21SL42(D)21SL423、方程1)1(32xxx的所有整数解的个数是（）（A）5个（B）4个（C）3个（D）2个4、已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于O，△AOD的面积为4，△BOC的面积为9，则梯形ABCD的面积为（）（A）21（B）22（C）25（D）265、如果多项式200842222babap，则p的最小值是（）(A)2005(B)2006(C)2007(D)20086、已知一组正数12345,,,,xxxxx的方差为：222222123451(20)5Sxxxxx，则关于数据123452,2,2,2,2xxxxx的说法：①方差为S2；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4S2。其中正确的说法是（）(A)①②(B)①③(C)②④（D）③④7、一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°α180°)。被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为()(A)72°（B）108°或144°（C）144°（D）72°或144°8、如图，已知圆心为A、B、C的三个圆彼此相切，且均与直线l相切．若⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为a、b、c(0cab)，则a、b、c一定满足的关系式为()（A）2b=a+c（B）bca（C）bac111(D)bac111二、填空题（每小题5分，共30分）9、已知a﹑b为正整数,a=b-2005,若关于x方程x2-ax+b=0有正整数解,则a的最小值是________10、如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,CG∥AB,BG分别交AD,AC于E,F.若baBEEF，那么BEGE等于.11、已知二次函数cbxaxy2的图象与x轴交于点(-2，0)，(x1，0)，且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在(0，2)的下方，下列结论：①ab0；②2a+c0；③4a+c0；④2a-b+1．其中正确的结论是_____________．(填写序号)12、如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若22PFPE=8，则AB等于．13、某商铺专营A，B两种商品，试销一段时间，总结得到经营利润y与投人资金x(万元)的经验公式分别是yA=x71，yB=x73。如果该商铺投入10万元资金经营上述两种商品，可获得的最大利润为___________万元。14、在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R．则R的最小值是．三、解答题（第15、16、17题各12分，第18题14分，共50分）15、三项式x2-x-2n能分解为两个整系数一次因式的乘积(1)若1≤n≤30,且n是整数,则这样的n有多少个?(2)当n≤2005时,求最大整数nABCGFED16、某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？17、一个三角形可被剖分成两个等腰三角形。原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值。18、已知A1、A2、A3是抛物线221xy上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C.（1）如图18-1，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长；（2）如图18-2，若将抛物线221xy改为抛物线1212xxy，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长；（3）若将抛物线221xy改为抛物线cxbxay2，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）.图18-1642-2-4-6-10-5510A1A2A3B1B2B3OxyC图18-2A1A2A3B1B2B3OxyC（参考答案）一、选择题：1、B2、C3、B4、C5、A6、B7、D提示：如图，有且只有右边两种情况，8、D二、填空题：9、95；设方程的两个根为x1,x2,则x1+x2=a,x1x2=b∴x1x2-(x1+x2)=b-a=2005∴(x1-1)(x2-1)=2006=2×17×59因为59为质数，故x1-1,x2-1中必有一个是59的倍数，取x1-1=34,x2-1=59，则x1+x2=95，∴a的最小值为95；10、ab；11、①②③；12、4；13、1.75；14、865或215；三、解答题：15、解：（1）x2－x－2n=(x－)2811)(2811nxn------------(2分)则应有1+8n=9，25，49，81，121，169-----------------------------------------（4分）相应解得n=1，3，6，10，15，21，28，36（舍去）……故当1≤n≤30时，满足条件的整数n有7个--------------------------------（6分）（2）观察数列1，3，6，10，……发现1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4……------------------------（8分）故n=1+2+3+……+k≤2005∴2)1(kk≤2005验证得当k=62时，n取最大值为1953---------------------------------------（12分）16、解：设从6时起x分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S辆，进场车y辆，则3815)1(6xyySSx---------------------------------------------（6分）∴3)1(6)15(8SS，解得5.55S．-------------------（8分）∵S为正整数，∴S＝56，即到第56辆车开出后，停车场内第一次出现无车辆．此时330)156(6x，6+60330=11.5（时）答：到11时30分时，停车场内第一次出现无车辆．--------------------------（12分）17、解：不妨设△ABC中∠B=36°.（1）若剖分线不过点B。不妨设剖分线为AD，此时，△BAD是（36°，36°，108°）或者（36°，72°，72°）的三角形。若△BAD是（36°，36°，108°）的三角形，则△CAD或者是（144°，18°，18°）(如图1)，或者是（72°，54°，54°）(如图2)，或者是（36°，72°，72°）（如图3、4）。-------------------（6分）（2）若剖分线过点B。不妨设剖分线为BE，那么，△ABE必定是（132°，24°，24°），△CBE是（156°，12°，12°）的三角形（如图5）。所以，原三角形的最大内角可能是72°，90°，108°，126°，132°。----------（12分）18、解：（1）方法一：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，∴A1B1=211212，A2B2=22212，A3B3=293212.设直线A1A3的解析式为y=kx+b.∴bkbk32921解得232bk∴直线A1A3的解析式为232xy.∴CB2=2×25232.∴CA2=CB2-A2B2=21225.方法二：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，∴A1B1=211212，A2B2=22212，A3B3=293212.由已知可得A1B1∥A3B3，∴CB2=21(A1B1+A3B3)=25)2921(21.∴CA2=CB2-A2B2=21225.---------------------------------------------（4分）（2）方法一：设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1.则A1B1=1)1()1(212nn，A2B2=1212nn，A3B3=1)1()1(212nn.设直线A1A3的解析式为y=kx+b.∴1)1()1(21)1(1)1()1(21)1(22nnbknnnbkn解得232112nbnk∴直线A1A3的解析式为2321)1(2nxny.--------------------------------(8分)∴CB2=23212321)1(22nnnnn.∴CA2=CB2-A2B2=21121232122nnnn.-----------------------------------（10分）方法二：设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1.则A1B1=1)1()1(212nn，A2B2=1212nn，A3B3=1)1()1(212nn由已知可得A1B1∥A3B3，∴CB2=21(A1B1+A3B3)=]1)1()1(211)1()1(21[2122nnnn=23212nn.∴CA2=CB2-A2B2=21)121(232122nnnn.（3）当a＞0时，CA2=a；当a＜0时，CA2=-a.---------------------------------（14分）