数学建模初等模型

数学建模（MathematicalModeling)黑龙江科技学院理学院工程数学教研室第二章初等模型黑龙江科技学院数学建模理学院线性代数模型初等模型第二章极限、最值、积分问题的初等模型经济问题中的初等模型重点:各种简单的初等模型难点:简单初等模型的建立和求解生活中的问题黑龙江科技学院数学建模理学院建模举例2.1生活中的问题2.1.1椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地•四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;•地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;•地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。黑龙江科技学院数学建模理学院模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来•椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置•四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离xBADCOD´C´B´A´椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性黑龙江科技学院数学建模理学院用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()•g()=0;且g(0)=0，f(0)0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地黑龙江科技学院数学建模理学院模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)0，知f(/2)=0,g(/2)0.令h()=f()–g(),则h(0)0和h(/2)0.由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和f(),g()的确定黑龙江科技学院数学建模理学院2.1.2分蛋糕问题妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给你。哥哥利用高等数学知识解决了这个问题，你知道他用的是什么办法吗？问题归结为如下一道证明题：已知平面上一条没有交叉点的封闭曲线，P是曲线所围图形上任一点，求证：一定存在一条过P的直线，将这图形的面积二等分。黑龙江科技学院数学建模理学院只证明了直线的存在性，你能找到它么？P?PS1S2l若S1≠S2不妨设S1＞S2(此时l与x轴正向的夹角记为)0以点P为旋转中心，将l按逆时针方向旋转，面积S1，S2就连续依赖于角的变化，记为21,SS21SSf令：而在上连续，且f00,010200fSS010200fSS由零点定理得证。黑龙江科技学院数学建模理学院2.1.3出租车收费问题某城市出租汽车收费情况如下：起价10元（4km以内），行程不足15km，大于等于4km部分，每公里车费1.6元；行程大于等于15km部分，每公里车费2.4元。计程器每0.5km记一次价。例如，当行驶路程x（km）满足12≤x12.5时，按12.5km计价；当12.5≤x13时，按13km计价；例如，等候时间t(min)满足2.5≤t5时，按2.5min计价收费0.8元；当5≤t25，按5min计价理学院黑龙江科技学院数学建模请回答下列问题•假设行程都是整数公里，停车时间都是2.5min的整数倍，请建立车费与行程的数学模型。•若行驶12km，停车等候5min,应付多少车费？•若行驶23.7km,停车等候7min，应付多少车费？解（1）设车费为y元，其中行程车费为y1元，停车费为y2元，行程为xkm，x∈z+,停车时间为tmin，t∈z+,则5.28.02tyxxxxxy156.14154.25101546.141040101理学院黑龙江科技学院数学建模数学模型为计算起来很简单。5.28.0156.14154.25101546.1410401021txxxxxyyy理学院黑龙江科技学院数学建模我学过高等数学，我可以做得更好，呵呵2.1.4蚂蚁逃跑问题22,yxkyxTjkikgradT232313213323，一块长方形的金属板，四个顶点的坐标分别是（1，1），（5，1），（1，3），（5，3），在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热，假设板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比，在（3，2）处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉的地点？解：板上任一点（x,y）处的温度为jyxkyiyxkxgradT23222322理学院黑龙江科技学院数学建模2.2极限问题中的初等模型2.3最值问题中的初等模型2.4积分问题中的初等模型黑龙江科技学院数学建模理学院细菌繁殖问题求：开始时细菌个数可能是多少？若继续以现在的速度增长下去，假定细菌无死亡，60天后细菌的个数大概是多少？某种细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时，与当时已有的数量成正比，即，V=KA0(K0为比例常数)。1.建立细菌繁殖的数学模型。2.假设一种细菌的个数按指数方式增长，下表是收集到的近似数据。天数细菌个数5936102190由于细菌的繁殖时连续变化的，在很短的时间内数量变化得很小，繁殖速度可近似看做不变。黑龙江科技学院数学建模理学院解:建立数学模型将时间间隔t分成n等分，在第一段时间内，细菌繁殖的数量为，在第一段时间末细菌的数量为，同样，第二段时间末细菌的数量为；以此类推，最后一段时间末细菌的数量为，经过时间t后，细菌的总数是ntkA0ntkA10201ntkAnntkA10ktnneAntkA001limkteAy0设细菌的总数为y,则所求的数学模型为：黑龙江科技学院数学建模理学院海报设计问题现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为128平方分米，上下空白个2分米，两边空白个1分米，如何确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？8128422442xxyxs最小令此式对x的导数为0，解得：x=16,此时y=8,可使空白面积最小。其中0''s这个问题可用求一元函数最值的方法解决x21y思考：若海报改为左右两栏，横向粘贴，印刷面积为180平方分米，要求四周留下空白宽2分米，留1分米宽竖直中缝。如何设计它的尺寸使总空白面积最小?黑龙江科技学院数学建模理学院对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8：00开始工作，在t小时之后，生产出Q(t)=-t3+9t2+12t个晶体管收音机。问：在早上几点钟这个工人的工作效率最高？工人上班效率问题工作效率最高，即生产率最大，此题中，工人在t时刻的生产率为产量Q关于时间t的变化率：Q’(t)，则问题转化为求Q’(t)的最大值解：工人的生产率为0186'''ttQtR12183'2tttQtR比较R(0)=12,R(3)=39,R(4)=36,知t=3时，即上午11：00，工人的工作效率最高。黑龙江科技学院数学建模理学院一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分。店主估计，如果当地牌子的每听卖x美分，外地牌子卖y美分，则每天可卖出70-5x+4y听当地牌子的果汁，80+6x-7y听外地牌子的果汁。问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？最大利润问题想一想高等数学中二元函数求最值的方法解：每天的总收益为二元函数：yxyyxxyxf768040457030,0'xf令，，则有驻点x=53,y=55判断可知（53，55）为最大值点。0'yf黑龙江科技学院数学建模理学院一零售商收到一船共10000公斤大米，这批大米以常量每月2000公斤运走，要用5个月时间，如果贮存费是每月每公斤0.01元，5个月之后这位零售商需支付贮存费多少元？商品的贮存费问题将区间0≤t≤5分为n个等距的小区间，任取第j个小区间【tj,tj+1】，区间长度为tj+1-tj=△t，在这个小区间中，每公斤贮存费用=0.01△t第j个小区间的贮存费=0.01Q(tj)△t总的贮存费=njjttQ101.0由定积分定义：总贮存费=元25020001000001.001.01050dttdttQ解：令Q(t)表示t个月后贮存大米的公斤数，则Q(t)=10000-2000t黑龙江科技学院数学建模理学院某公路管理处在城市高速公路出口处，记录了几个星期内平均车连行驶速度，数据统计表明：一个普通工作日的下午1：00至6：00之间，次口在t时刻的平均车辆行驶速度为：S(t)=2t3-21t2+60t+40(km/h)左右，试计算下午1：00至6：00内的平均车辆行驶速度？车辆平均行驶速度问题解：平均车辆行驶速度为hkmdttttdtts/5.784060212161161612361此题是求函数s(t)在区间【1，6】内的平均值一般地，连续函数在区间上的平均值，等于函数在此区间上的定积分除以区间长度。黑龙江科技学院数学建模理学院设产品产量为q,产品价格为p,固定成本c0，可变成本为c1.2.5经济问题中的初等模型（1）总成本函数：（2）供给函数：（3）需求函数：（4）价格函数：qccqcc10pfsQpg0QqpQfp01黑龙江科技学院数学建模理学院qCqRqLqCCm'qRRm'mmmCRqCqRL''（5）收益函数：（6）利润函数：（7）边际成本函数：（8）边际收益函数：（9）边际利润函数：qqpqRR黑龙江科技学院数学建模理学院例1某品牌收音机每台售价90元，成本为60元，厂家为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购一台，售价就降低1分（例如某商行订购300台，订购量比100台多200台，于是每台就降价0.01×200=2元，商行可按每台88元的价格购进300台）。但最低价格为75元/台。（1）建立订购量x与每台的实际售价p的数学模型。（2）建立利润L与订购量x的数学模型。（3）当一商行订购了1000台时，厂家可获利润多少？据此不难将售价与订购量归纳为如下的数学模型：160075160010001.01009010090xxxxp当x≤100时，每台售价90元；当订购量超过1600台时，每台售价75元；当订购量在100到1600台之间时，每台售价为90-(x-100)×0.01每台利润是实际售价p与成本60元之差，所以L=(p-60)x黑龙江科技学院数学建模理学院例2一房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去，当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。（1）建立总收入R与租金x之间的数学模型。（2）当房租定为多少时可获得最大收入？解：（1）建立数学模型：106820101805020xxxxR（2）求R的最大值。0101201068'xxxR得x=350(元/月)总收入R等于租出的公寓数50-((x-180)/10)乘以每套公寓的纯利