新课标人教A版高考文科数学选修1-1第三章：利用导数判断函数的单调性

1掌握利用导数求函数的单调区间的方法。2从数与形的角度理解函数单调性与导数的关系，体会数形结合的数学思想方法。1．观察下图，导数f′(x0)表示函数在点(x0，f(x0))处的__________；在x＝x0处，f′(x0)___，切线为____________；函数f(x)在x0附近图象_____(填“上升”或“下降”)；在x＝x1处，f′(x1)___，切线为_____________；函数f(x)在x1附近图象____(填“上升”或“下降”)．切线的斜率＞0“左下右上”上升＜0“左上右下”下降21'21x0xx21'21212121'21212121y-yy.fx==xx-xy-yfx0,0x-xy-yx-xy-yfx0,0x-xy-yx-xlimlim2由导数定义若则即与同号，则函数单调递增。若则即与异号，则函数单调递减。3．一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数f(x)在这个区间内_________；如果________，那么函数f(x)在这个区间内单调递减．f′(x)＜0单调递增1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间是()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，0)D．(0,2)解析：f′(x)＝3x2－6x，由f′(x)＜0，得0＜x＜2.故选D.答案：D2．若函数f(x)在区间(a，b)内，f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内，有()A．f(x)＞0B．f(x)＜0C．f(x)＝0D．不能确定A例1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如右图所示，则y＝f(x)的图象最可能是()考点一利用导数确定原函数的图象C解析：本题考查导函数与原函数之间的关系．由图可知，①当x0时，f′(x)0，则f(x)单调递增；②当0x2时，f′(x)0，则f(x)单调递减；③当x2时，f′(x)0，则f(x)单调递增，并且x＝0为极大值点，x＝2为极小值点，故选C.答案：C''1.xf-x=-f,,x0f0,g0,x0Rxgxgxxx已知对任意，有且时，则时''''.fx0,0.fx0,0AgxCgx''''.fx0,0D.fx0,0Bgxgx总结：偶函数图像关于y轴对称，在两侧单调性相反；奇函数图像关于原点对称，在两侧单调性相同。考点二利用导数求单调区间3211-a.fx=x+x-ax-aa032例2已知函数（）求函数的单调区间。212f1f0x=-1.x=aa0f0f0fx--1a+-1axxaxaxxx’’’’解：由令得（）令得-1xa令得xa或x-1综上，的单调增区间为（，），（，）单调减区间为（，）2.fx=xlnx若函数，求函数的单调区间。fx=lnx+1x01fx0xe1fx0xe11fx+0ee’’’解：（）令得令得0故的单调递增区间为，，减区间为，考点三：利用函数单调性与导数关系求参数的取值范围3213.fx=x-x+ax-5-1,23a例已知函数在区间上单调递减，求实数的取值范围。'222minmin-1,2fx0-1,2x-2x+a0-1,2a2x-x-1,2gx=2x-xagxgx=g-1=-3a-3解：由函数在上单调递减，则在上恒成立。即在上恒成立，则在上恒成立令只需由故函数单调性问题不等式恒成立问题函数最值问题体会等价转化的数学思想方法3.已知函数f(x)＝x3＋ax2－2x－3.(1)若函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，求实数a的值；(2)若f(x)在13，12上是单调递增函数，求a的取值范围．解：(1)因为f(x)＝x3＋ax2－2x－3在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(x)＝3x2＋2ax－2，且f′(1)＝0，所以a＝－12.此时，f′(x)＝(x－1)(3x＋2)，当0x1时，f′(x)0，即f(x)在(0,1)上单调递减；当x1时，f′(x)0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以a＝－12即为所求．'2max2max11112fx03232111311x+2ax-20a-x32x23213gx=-xagxx2131311g'x=--0gx=-xx2x23215gx=g=32由函数在，上单调递增，则在，上恒成立。即3在，上恒成立，则在，上恒成立令只需由恒成立，故在，上单调递减。故5a2故1．函数f(x)＝lnx－ax(a＞0)的单调递增区间为()A.0，1aB.1a，＋∞C．(0，＋∞)D．(0，a)解析：因为f′(x)＝1x－a(x＞0)，由f′(x)＞0，得0＜x＜1a.A2．函数f(x)＝lnx－x的单调递减区间为________．答案：(1，＋∞)关键提示：构造函数，利用函数的单调性证明．证明：设F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)0，所以F(x)＝f(x)－g(x)在区间[a，b]上单调递增，所以任取x∈[a，b]，f(x)－g(x)f(a)－g(a)＝0，所以f(x)g(x)．3.已知函数f(x)与g(x)均为闭区间[a，b]上的可导函数，且f′(x)g′(x)，f(a)＝g(a)．求证：当x∈[a，b]时，f(x)g(x)．34.fx=x-ax1+a已知函数在，上单调递增，则的最大值为A.0B.1C.2D.3D知识总结函数单调性与导数关系求单调区间步骤数学思想方法总结数形结合等价转化