2013年中考数学复习 锐角三角函数和解直角三角形课件

锐角三角函数和解直角三角形复习课黄垓中学李索金1．锐角三角函数的意义，Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则：∠α的正弦sinα＝.∠α的余弦cosα＝.∠α的正切tanα＝.要点梳理∠α的对边斜边∠α的邻边斜边∠α的对边∠α的邻边2．30°、45°、60°的三角函数值，如下表：正弦余弦正切30°45°60°12323322221321233．同角三角函数之间的关系：sin2α＋cos2α＝；tanα＝.互余两角的三角函数关系式：(α为锐角)sin＝；cos＝.函数的增减性：(0°α90°)(1)sinα，tanα的值都随α；(2)cosα都随α．sinαcosα190°－αcosα90°－αsinα增大而增大增大而减小4．解直角三角形的概念、方法及应用．解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．直角三角形中的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c则：(1)边与边的关系：；(2)角与角的关系：；(3)边与角的关系：.5．三角形面积公式：S△＝ah＝.a2＋b2＝c2∠A＋∠B＝90°sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝；acbctanA＝，tanB＝abba12absinC121．(2011·烟台)如果△ABC中，sinA＝cosB＝，则下列最确切的结论是()A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形解析：当sinA＝，cosB＝时，∠A＝∠B＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形．基础自测22C22222．(2011·湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，则tanA的值为()A．2B.C.D.解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝＝.5512255BBCAC123．(2011·茂名)如图，已知45°∠A90°，则下列各式成立的是()A．sinA＝cosAB．sinAcosAC．sinAtanAD．sinAcosA解析：当45°∠A90°时，∠A∠B，BCAC，在Rt△ABC中，sinA＝，cosA＝，∴sinAcosA.BBCABACAB4．(2011·镇江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为()A.B.C.D.解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，则AB＝3.由CD⊥AB，得∠ACD＝∠B，所以sin∠ACD＝sinB＝＝.5255235352A5ACAB535．(2011·苏州)如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC等于()A.B.C.D.解析：连接BD，因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EF是△ABD的中位线，BD＝2EF＝2×2＝4.在△BCD中，BD＝4，BC＝5，CD＝3.由BD2＋CD2＝BC2，得∠BDC＝90°，所以tanC＝＝.34354345BBDCD43题型一特殊角三角函数参与实数运算【例1】计算tan45°·sin45°－4sin30°·cos45°＋tan30°.解：原式＝1×－4××＋×＝－＋＝.探究提高利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合．准确地记住三角函数值是解决此类题目的关键，所以必须熟记．题型分类深度剖析6221222633222222知能迁移1计算：(1)－tan45°的值是________；解析：－tan45°＝－1＝1－1＝0.sin60°cos30°0sin60°cos30°3232(2)2sin60°＝________；解析：2sin60°＝2×＝.(3)＝________.解析：＝|tan30°－1|＝1－tan30°＝1－.3233tan30°－121－33tan30°－1233题型二仰角、俯角、方位角有关问题【例2】已知：如图，在某建筑物AC上，挂着“美丽山东”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，再往条幅方向前行20m到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．(小明的身高不计，结果用含有根号的式子表示)解：设BC＝x，在Rt△BCF中，tanF＝，∴CF＝＝x.在Rt△BCE中，tan∠BEC＝，∴EC＝＝x.∵FE＝FC－EC，∴x－x＝20.∴x＝20，x＝10.答：宣传条幅BC的长是10m.BCCFxtan30°3BCECxtan60°3333323333知能迁移2(2011·潜江)五月石榴红，枝头鸟儿歌．一只小鸟从石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处．从A处看房屋顶部C处的仰角为30°，看房屋底部D处的俯角为45°，石榴树与该房屋之间的水平距离为3m，求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD.3解：作AE⊥CD于点E.由题意可知：∠CAE＝30°，∠EAD＝45°，AE＝3m.在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，即tan30°＝.∴CE＝3tan30°＝3×＝3m，∴AC＝2CE＝2×3＝6(m).在Rt△AED中，∠ADE＝90°－∠EAD＝90°－45°＝45°，∴DE＝AE＝3(m)．∴DC＝CE＋DE＝(3＋3)m.答：AC＝6m，DC＝(3＋3)m.3CEAECE333333333例3(2011·安顺)一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40m到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．(参考数值：tan31°≈)35解：如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意∠DAC＝31°，∠DBC＝45°，设CD＝BD＝x，则AD＝AB＋BD＝40＋x，在Rt△ACD中，tan∠DAC＝，则＝，解得x＝60.答：这条河的宽是60m.CDADx40＋x35题型三解直角三角形在实际中的应用【例4】(2010·杭州)如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点320千米处．(1)说明本次台风会影响B市；(2)求这次台风影响B市的时间．解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：(1)作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，由条件知，PB＝320，∠BPQ＝75°－45°＝30°，得BH＝320×sin30°＝160200，∴本次台风会影响B市．[4分](2)如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．由(1)得BH＝160，由条件得BP1＝BP2＝200，∴P1P2＝2＝240，[8分]∴台风影响的时间t＝＝8(小时)．[10分]2002－160224030知能迁移4(2010·乌鲁木齐)某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为i＝1∶，(i＝1∶是指铅直高度DE与水平宽度CE的比)，CD的长为10m，天桥另一斜面AB坡角∠ABG＝45°.(1)写出过街天桥斜面AB的坡度；(2)求DE的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF.试计算此改建需占路面的宽度FB的长．(结果精确0.01)33解：(1)在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，∴AG＝BG，∴AB的坡度＝＝1.(2)在Rt△DEC中，∵tanC＝＝＝，∴∠C＝30°.又∵CD＝10，∴DE＝CD＝5.(3)由(1)知，AG＝BG＝5，在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，tan∠AFG＝，即＝，解得FB＝5－5≈3.66.答：改建后需占路面宽度约为3.66m.AGBGDEEC133312AGFG335FB＋53方法与技巧1.准确理解三角函数概念，熟练运用正弦、余弦、正切的定义．2.形成解直角三角形思考过程的程序：在不同的条件下，应有不同的考虑；无论什么条件下，分别求解各未知元素时，应尽量代入已知的数值，少用在前面的求解中刚刚算出的数值，以减少以错传误的机会．3.解直角三角形应用题的思考方法：(1)寻求各类应用题的共同思考步骤：①审题，把情景尽可能弄通、弄细致，甚至画个示意图；②把示意图转化为几何图；思想方法感悟提高③从要求的量所在的直角三角形分析，解之，若条件不足，转而先去解所缺条件所在的直角三角形，然后返回；若条件仍不足，再去解第二次所缺条件所在的直角三角形，直至与全部已知条件挂上钩，然后层层返回．(2)积累各种类型应用题的特殊思考步骤，如：测高问题，测不可到达的两点间距离问题，航海有关问题等．作业：同步学习182页单元测试题练习册109页综合练习课堂练习已知：如图28－4所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC的周长．(结果保留根号)图28－4[解析]要求△ABC的周长，先通过解Rt△ADC求出CD和AD的长，然后根据勾股定理求出AB的长．解：在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝ACAD，∴AD＝ACsin∠ADC＝3sin60°＝2.∴BD＝2AD＝4.∵tan∠ADC＝ACDC，∴DC＝ACtan∠ADC＝3tan60°＝1.∴BC＝BD＋DC＝5.在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝27.∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝27＋5＋3.方法技巧解直角三角形的一般思路是：有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中．对于较复杂的图形，要善于将其分解成简单的图形，并借助桥梁(相等的边、公共边、相等的角等)的作用将两个图形有机地联系在一起，从而达到解题的目的．