2015年高考解三角形做题技巧与方法总结

最新2015年高考解三角形做题技巧与方法总结知识点整理1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinA＝cosB＝ca，cosA＝sinB＝cb，tanA＝ba。2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等RCcBbAa2sinsinsin（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面积公式：（1）S＝21aha＝21bhb＝21chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）S＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。2sin2cos,2cos2sinCBACBA；（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6．求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。三、典例解析类型一：解三角形与向量的结合例1.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin3cosaCcA，2ABAC．（Ⅰ）求ABC的面积；（Ⅱ）若1b，求边c与a的值．解：（Ⅰ）由正弦定理得sinsin3sincosACCA，sin3cosAA，tan3A，60A，由2ABAC得4bc，ABC的面积为3．（Ⅱ）因1b，故4c，由余弦定理得13a练习：1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.coscos3cosBcBaCb（I）求cosB的值；（II）若2BCBA，且22b，求ca和b的值.解：（I）由正弦定理得CRcBRbARasin2,sin2,sin2，,0sin.cossin3sin,cossin3)sin(,cossin3cossincossin,cossincossin3cossin,cossin2cossin6cossin2ABAABACBBABCCBBCBACBBCRBARCBR又可得即可得故则因此.31cosB（II）解：由2cos,2BaBCBA可得，,,0)(,12,cos2,6,31cos222222cacacaBaccabacB即所以可得由故又所以a＝c＝6类型2解三角形与三角恒等变换的结合例2：在ABC中，,,abc分别是角,,ABC的对边，若tan3A，5cos5C。（1）求角B的大小；（2）若4,c求ABC面积。解：（1）由525cossin,tan255CCCtantantantan()11tantanACBACAC；又0B，4B；（2）由正弦定理sinsinbcBC可得，sin10sincbBC，由sinsin()sin()4ABCC得，310sin10A；所以ABC面积1sin62ABCSbcA；例3：如图，角A为钝角，且53sinA，点P、Q分别是在角A的两边上不同于点A的动点.新|课|标|第|一|网（1）若AP=5，PQ=35，求AQ的长；（2）设)2sin(,1312cos,,求且AQPAPQ的值.解：（1）A是钝角，3sin5A，4cos5A在APQ中，由余弦定理得：2222cosPQAPAQAPAQA所以28200AQAQ解得2AQ或10（舍去负值），所以2AQ（2）由135sin,1312cos得在三角形APQ中，A又3sin()sin()sin,5AA4cos()cos5Asin(2)sin[()]sincos()cossin()655653131254135练习2：在ABC中，sin()1CA,sinB=13.（I）求sinA的值，(II)设AC=6，求ABC的面积.本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分解：（Ⅰ）由2CA，且CAB，∴42BA，∴2sinsin()(cossin)42222BBBA，∴211sin(1sin)23AB，又sin0A，∴3sin3A（Ⅱ）如图，由正弦定理得sinsinACBCBA∴36sin3321sin3ACABCB，又sinsin()sincoscossinCABABAB32261633333∴116sin63232223ABCSACBCC类型3：解三角形中的最值问题例4：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且.21222acbca（1）求BCA2cos2sin2的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．解：(1)由余弦定理：conB=14sin22AB+cos2B=-14（2）由.415sin,41cosBB得∵b=2，a2+c2=12ac+4≥2ac,得ac≤38,S△ABC=12acsinB≤315(a=c时取等号)故S△ABC的最大值为3155、在ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量2sin,3mB，ABC2cos2,2cos12BnB，且//mn。（I）求锐角B的大小；（II）如果2b，求ABC的面积ABCS的最大值。(1)解：m∥n2sinB(2cos2B2－1)＝－3cos2B2sinBcosB＝－3cos2Btan2B＝－3……4分∵0＜2B＜π,∴2B＝2π3,∴锐角B＝π3……2分(2)由tan2B＝－3B＝π3或5π6①当B＝π3时，已知b＝2，由余弦定理，得：4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立)……3分∵△ABC的面积S△ABC＝12acsinB＝34ac≤3∴△ABC的面积最大值为3……1分②当B＝5π6时，已知b＝2，由余弦定理，得：4＝a2＋c2＋3ac≥2ac＋3ac＝(2＋3)ac(当且仅当a＝c＝6－2时等号成立)∴ac≤4(2－3)……1分∵△ABC的面积S△ABC＝12acsinB＝14ac≤2－3∴△ABC的面积最大值为2－3……1分注：没有指明等号成立条件的不扣分.类型4：解三角形中的综合题目例5：在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量(1,2sin)mA，(sin,1cos),//,3.nAAmnbca满足（I）求A的大小；（II）求)sin(6B的值.解：（1）由m//n得0cos1sin22AA……2分即01coscos22AA1cos21cosAA或1cos,AABCA的内角是舍去3A（2）acb3由正弦定理，23sin3sinsinACB32CB23)32sin(sinBB23)6sin(23sin23cos23BBB即练习：△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且有sin2C+3cos（A+B）=0，.当13,4ca，求△ABC的面积。由CBABAC且0)cos(32sin有23sin0cos,0cos3cossin2CCCCC或所以……6分由3,23sin,,13,4CCacca则所以只能有，……8分由余弦定理31,034cos22222bbbbCabbac或解得有当.3sin21,133sin21,3CabSbCabSb时当时课后作业1.在ABC中，,,abc分别是角,,ABC的对边，若tan3A，5cos5C。（1）求角B的大小；（2）若4,c求ABC面积解：（1）由525cossin,tan255CCCtantantantan()11tantanACBACAC；……………………4分又0B，4B；……………………6分（2）由正弦定理sinsinbcBC可得，sin10sincbBC，；…………………8分由sinsin()sin()4ABCC得，310sin10A；……………………10分所以ABC面积1sin62ABCSbcA；……………………12分2、△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，sinsintancoscosABCAB,sin()cosBAC.（1）求,AC；（2）若33ABCS,求,ac.解：(1)因为sinsintancoscosABCAB，即sinsinsincoscoscosCABCAB，所以sincossincoscossincossinCACBCACB，即sincoscossincossinsincosCACACBCB，得sin()sin()CABC.所以CABC,或()CABC(不成立).即2CAB,得3C，所以.23BA又因为1sin()cos2BAC，则6BA，或56BA（舍去）得5,412AB(2)162sin3328ABCSacBac，又sinsinacAC,即2322ac，21世纪教育网得22,23.ac3.ABC中，D为边BC上的一点，33BD，5sin13B，3cos5ADC，求AD