三角形全等添加辅助线口诀

三角形全等添加辅助线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线，辅助线，如何添加？把握定理和概念，还要刻苦加钻研，找出规律凭经验，图中有角平分线，可向两边引垂线，也可将图对折看，对称以后关系现，角平分线平行线，等腰三角形来添，角平分线加垂线，三线合一试试看，线段垂直平分线，常向两边把线连，要证线段倍与半，延长缩短可试验，三角形中两中点，连接则成中位线，三角形中有中线，延长中线等中线。几何，不谈战术谈战略学而思中考研究中心施佳辰作为和代数并列为初中数学两大知识点的几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。话虽如此，变形金刚也不是无敌的，最终仍旧是人类的智慧更胜一筹。实际上，每一道几何题目背后都有着一定的法则和规律，每一类题都有着相似的解题思想，这种思想的集中体现，便是模型（变形金刚的原力所在）。对于几何，我们不仅仅要在战术上坚定执行，在战略层面上也要对几何在初中三年的整体学习有一个明确的了解。得模型者得几何，而模型思想的建立又并非一朝一夕，是需要同学们在大量的实战做题和不断总结方法中培养出来的。对于模型的理解和认识，分为很多层面，最浅的是基本的形似，看到图形相仿或相似的题目，能够有意识的联想以前学过的题型并加以运用，套用，这是最简单的模型思想。高一些的是神似，看到一些关键点，关键线段或是题目所给条件的相似便能够联想到所学知识点，通过推理和演绎逐步取得正确的解法，记住的是一些具体模型，这，是第二种层次。最高的境界是，心中只有很少几种基本模型，这些模型就像种子，看到一道题目就会发芽，开花结果，随着对于题目的深入理解，不断地寻找适合的花朵，每一朵花上面都有着一种具体的模型，而每种模型之间，都会有树枝相连，相互间并不是孤立的，而是借由其他条件贯穿连接的。达到这样的理解才能算是包罗万象，驾轻就熟。我们对于模型的把控能不应当仅限于会用于具有明显模型特征的题目，对于一些特征并不明显的题目，我们要有能力添加辅助线去挖掘图形当中的隐藏属性。这就要求同学们对于每一种基本图形的理解要十分深刻，不仅仅要认识模型，还要会补全模型，甚至构造模型来解决问题，这对于同学们动手添加辅助线的能力要求就很高了。学好几何无非做好以下几点想学好几何，一定要注意以下几点：1、多做题，在起步初期，多见一些题，对一些模型有初步认识。2、多总结，尽量在老师的帮助下能够总结出一些模型的主要辅助线做法和解题方法。3、多应用，多用模型解决问题，不要没有方法的撞大运，要根据图形特点思考解法。4、多完善，不断做题总会有新的知识添加到已有的模型体系中来，不断壮大自己的知识树。5、多思考，对于任何一道题都有可能存在不止一种方法，每种方法涉及到的模型不尽相同，要能够通过一题多解发现模型之间的相互关系，增强自己对模型的理解深度。从长远的角度来说，中考几何压轴的考察趋势越来越倾向于竞赛化的趋势，而考察重点则是以三大变化为主题的综合题目。如今三大变换的思想也在不断的渗透在初二几何的题目中来，平移、旋转、轴对称这些技巧也会慢慢被我们所熟识。然而仅仅熟悉并不够，我们还要结合模型把他们灵活掌握并能够精确与用到实际的题目中去，这样才能使我们做几何题目的能力有所提高。初二这一年是模型大爆炸得时期，上学期的全等三角形的模型，下学期的四边形模型以及很多学校在初二暑假就会开设的圆的知识，很多都是需要同学们运用模型思想解决的问题。这些知识点不仅多，而且十分重要，可以说初中几何部分的重点全部集中在初二这一年，故而打好基础，勤加练习，多做总结是我们不得不去完成的任务。同学们，希望大家能够确实从初二开始抓紧模型和方法的积累，不仅仅是为即将到来的其期中、期末做好准备，更要着眼于未来的，毕竟我们的目标是中考，拥有充裕的知识储备和良好的解题习惯才是成功的关键。现在，我们要保证走的每一步都不会留下遗憾，保证每一次学习都会有所收获！几个字驾驭初二几何题学而思施佳辰（点击图片即可查看清晰原图）首先我们给出一个初中几何学习的整体形势。从图中我们能够发现整个初中的几何重难点分布。对于初二的孩子来说，现在正处于第一个难点——全等三角形辅助线添加的阶段，这个阶段不仅仅是几何中第一个重点难点集中地阶段，而且从战略的角度来说更加重要。这个阶段同学们要为后面的四边形学习打好基础，而且会接触到三大变换之中的轴对称，所以几何思维的养成和模型量的积累是会从这一时期开始影响全局的。其实，在这一阶段养成良好的学习方法和几何思维能力并不复杂，同学们只需要记住五个字便可。找、想、画、推、化一、拿到一道题先去找，找条件，有没有特殊的点，特殊的线段，特殊的关系。二、想，有没有学过相关的模型或解题方法。三、添加辅助线，使得模型完整或是能够使得特殊图形的性质得以应用。四、从模型中推出能够得到的结论，逐步解决问题。五、转化结论，似的所求更加明显，使其与已知条件联系更紧密。再与第四步结合进行综合分析。整体流程图如下图所示。接下来我们用一道具体的题目说明，下面这道题是初二秋季数学尖子班学案的第三题。题目很简单，但是有部分同学没能做出来是因为思路不够清晰。已知△ABC中∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BD⊥AD求证：AC-AB=2BD读题后，发现有角分线，有垂直于角分线的线段，于是联想到【流程图】的第三种模型。第三种模型的辅助线添加方法就是“延长垂直于角分线的线段到另一边”也就是【流程图】中第三种辅助线的添加方法。添加完辅助线我们得到1、两腰相等：AB=AE→AC-AB=AC-AE=EC，2、BD=DE→BE=2BD3、∠3=∠4→∠4+∠5=3∠C→∠5+∠C+∠5=3∠C→∠5=∠C再从结论入手我们可以知道，想证明AC-AB=2BD只需证明EC=BE→只需证明∠5=∠C，而上述第三部已经得出此结论，故而此题得证。几何题目最重要的模型的积累以及具备一定的逻辑思维能力。看到什么想到什么，知道什么能得到什么，要证什么只需证什么，做题时多问问自己，才能不断提高分析问题的解决问题的能力。希望同学们能在初二上学期尽快建立起几何问题的分析能力，积累一定的模型和方法，为今后的四边形和三大变换打好基础！一、延长中线构造全等三角形例1如图1，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD的取值范围．提示：延长AD至A＇，使A＇D＝AD，连结BA＇．根据“SAS”易证△A＇BD≌△ACD，得AC＝A＇B．这样将AC转移到△A＇BA中，根据三角形三边关系定理可解．二、引平行线构造全等三角形例2如图2，已知△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F．求证：DF=EF．提示：此题辅助线作法较多，如：①作DG∥AE交BC于G；②作EH∥BA交BC的延长线于H；再通过证三角形全等得DF＝EF．三、作连线构造等腰三角形例3如图3，已知Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE⊥AB，垂足为D，交BC于E．求证：BD=DE=CE．提示：连结DC，证△ECD是等腰三角形．四、利用翻折，构造全等三角形．例4如图4，已知△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC交BC于D．求证：AC＝AB+BD．提示：将△ADB沿AD翻折，使B点落在AC上点B＇处，再证BD=B＇D＝B＇C，易得△ADB≌△ADB＇，△B＇DC是等腰三角形，于是结论可证．五、作三角形的中位线例5如图5，已知四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线交EF的延长线于点M、N．求证：∠BME＝∠CNE．提示：连结AC并取中点O，再连结OE、OF．则OE∥AB，OF∥CD，故∠1＝∠BME，∠2＝∠CNE．全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．2)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．3)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．4)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．5)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1.已知：如图3所示，AD为△ABC的中线，求证：AB+AC2AD。分析：要证AB+AC2AD，由图形想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有：AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE。3图例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC∠ACE=∠BCA，所以△BCA∽△ACE所以∠ABC=∠CAE因为DC=AC，所以∠ADC=∠DAC∠ADC=∠ABC+∠BAD所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE所以∠BAD=∠DAE即AD平分∠BAE应用：二、截长补短例1.已知：如图1所示，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4。求证：BE+CFEF。分析：要证BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF。延长FD到G,使DG=FD,再连结EG,BG1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC证明：取AB中点E，连接DE∵AD=BD∴DE⊥AB，即∠AED=90º【等腰三角形三线合一】∵AB=2AC∴AE=AC又∵∠EAD=∠CAD【AD平分∠BAC】AD=AD∴⊿AED≌⊿ACD（SAS）∴∠C=∠AED=90º∴CD⊥AC2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD在AB上取点N,使得AN=AC∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN所以∠ANE=∠ACE又AC平行BD所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP证明：做辅助线PM‖BQ，与QC相交与M。（首先算清各角的度数）∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70°且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC（同位角相等）=180°—70°—40°=70°∴∠APB=∠APM又∵AP是BAC的角平分线，∴∠BAP=∠MAPAP是公共边∴△ABP≌△AMP(角边角）∴AB=AM，BP=MP在△MPC中，∠MCP=∠MPC=40°∴MP=MC∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在△QBC中∵∠QBC=QCB=40°∴BQ=QC∴BQ+AQ=AQ+QC=AC∴BQ+AQ=AB+BP赞同4、角平分线如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：延长BA,作DF⊥BA的延长线，作DE⊥BC∵∠1=∠2∴DE=DF（角分线上的点到角的两边距离相等）∴在Rt△DFA与