三角形的内切圆

ABCM例1作圆，使它和已知三角形的各边都相切已知：△ABC（如图）求作：和△ABC的各边都相切的圆作法：1、作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.3、以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求的圆.NID1如图2，△DEF是⊙I的三角形，⊙I是△DEF的圆，点I是△DEF的心，它是三角形的交点。定义：和三角形各边都相切的圆叫做，内切圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做。IDEF．图2三角形的内切圆内心圆的外切三角形外切内切内三个角的角平分线三角形内心的性质：1、三角形的内心到三角形各边的距离相等；2、三角形的内心在三角形的角平分线交点上；CAB．I3、三角形内心位置名称确定方法图形性质外心内心ABCOABCO三角形三边中垂线的交点三角形三条角平分线的交点（三角形外接圆的圆心）（三角形内切圆的圆心）1.OA=OB=OC；2.外心不一定在三角形的内部．1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；3.内心在三角形内部．定义：和多边形各边都相切的圆叫做，这个多边形叫做。圆心叫做多边形的内切圆圆的外切多边形内切外切如上图，四边形DEFG是⊙O的四边形，⊙O是四边形DEFG的圆，O是四边形DEEG的DEFG.O多边形的内心内心练一练：填空：如图，△ABC的顶点在⊙O上，△ABC的各边与⊙I都相切，则△ABC是⊙I的三角形；△ABC是⊙O的三角形；⊙I叫△ABC的圆；⊙O叫△ABC的圆，点I是△ABC的心，点O是△ABC的心ABCI外切内接内切外接．．O内外1、如图1，△ABC是⊙O的三角形。⊙O是△ABC的圆，点O叫△ABC的，它是三角形的交点。外接内接外心三边中垂线1ABCO．图1知识回顾：（1）、三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等；（2）、三角形的外心是三角形三边的垂直平分线交点；2.三角形外心的性质：DEF．O（3）、三角形外心位置3、角平分线性质定理与逆定理如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ABC25.6三角形的内切圆ABC作圆，使它和已知三角形的各边都相切．（1）作圆的关键是什么?提出以下几个问题进行讨论：（2）假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件?（3）这样的点I应在什么位置?（4）圆心I确定后半径如何找？结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个．ABCIMND例1、判断题：1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（）2、三角形的外心到三角形各边的距离相等（）3、等边三角形的内心和外心重合；（）4、三角形的内心一定在三角形的内部（）5、菱形一定有内切圆（）6、矩形一定有内切圆（）错错对对错对例2如图，在△ABC中，点O是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠BOC的度数ABCO（2）若∠A=80°，则∠BOC=度。（3）若∠BOC=100°，则∠A=度。解（1）∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC=∠OBA=∠ABC=25°同理∠OCB=∠OCA=∠ACB=35°∴∠BOC=180°－（∠OBC＋∠OCB）=180°－60°=120°13020（4）试探索：∠A与∠BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由。理由：∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB∴∠OBC＋∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°－∠A）=90°－∠A在△ABC中，∠BOC=180°－（∠OBC＋∠OCB）=180°－（90°－∠A）=90°+∠AABCO答：∠BOC=90°+∠A例3：如图，设△ABC的边BC=a，CA=b，AB=c，设s=（a+b+c）/2，内切圆O和各边分别相切于D，E，F。求证：AD=AF=s-a，BE=BD=s-b，CF=CE=s-c。ABCDEFO课堂小结：1、本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法.2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。3、学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与“外心”的区别，4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：R=—c2r=——a+b-c2ABCOIabc直角三角形外接圆、内切圆半径的求法