倒煤台问题1993B美赛-数学建模-西南财大培训-飞机装卸问题解答

1飞机装卸问题分析摘要本文研究了在飞机装卸与等待过程中有关费用最小化的问题。首先，在每天五点装卸台的初始状态为装满，当天工作不延迟到下一天的假设下建立了模型一。根据飞机到达时间服从均匀分布，得到各飞机等待时间的概率密度函数。分12种情况分别求出等待时间和工作时间的分段函数，并由此解得飞机的等待费用和工作组工作费用，其和即为总费用。机场工作方案为①当还在对前一架飞机进行装货时，后一架已经到达，启用第二个工作组；②前一飞机装满离开后，装卸台所剩货物已经不足装满一架飞机，而在继续向装卸台中装货时，后一架已经到达，启用第二个工作组；③除此外用一个工作组。总费用为:23036942.2元。而后，在模型一的基础上，考虑实际情况受前一天迟滞的影响，早上五点时装卸台不一定满，放宽当天工作不延迟到下一天的假设。且原方案中启用第二个工作组的时刻不能使总费用最低，因此建立计算机随机数模拟优化模型，寻找启用第二个工作组的最佳时刻，使总费用最低。利用计算机随机模拟，找出当装卸台需要Q单位货物才能装满，当天还有i架飞机还未到达时，能使总费用最小，启用第二个工作组的时刻，即为机场工作方案。工作方案为①同时有两架或三架飞机时，先到先装，装满才装下一架。②在时刻t，机场无飞机等待，装卸台需要Q单位货物才能装满，当天还有i架飞机还未到达，有时刻(,)Qit，当(,)Qitt时用一组工人工作，当(,)Qitt时用两组工人工作。(,)Qit具体数值见表3，总费用为9112.3万元。关键词计算机模拟优化问题2一、问题重述航空货运已是物流的一个重要组成部分。成都机场某公司经营机场某一货物装卸台，当货机到达时，货物通过装卸台吊装到飞机上。一架货机要用3小时装满，而装卸台的容量是一架半货机。每天，运输部门向这个装货设施发送三架货机，货机到达时间不确定。这些货机在上午5点到下午8点的任何时间内到达。如果一货机到达后因等待装货而停滞在那里（即处于等待服务状态）的话，机场要征收停机费15000元/小时架。一个装货工作组要用6个小时用装卸车把空的装卸台装满。这个工作组的费用是每小时9000元。可以调用第二个工作组及其装卸车来提高装货速度，而费用为每小时12000元，出于安全的原因，当往装卸台装货时，不能往货机上装货。每当由于往装卸台装货而中断往货机上装货时，就要征收停机费。如果你是公司的管理者，你将如何进行安排。注意：你们的分析至少应包括考虑以下的问题：1、建立合理的装货安排模型来选择最佳方案使费用少？2、必要的结果，比如：最佳方案，年预期开支（预期开支是指工作组的费用与停机费的总和）3、用计算机模拟的方法检验你对问题的分析和结果。二、模型假设1．飞机需装满才能起飞。2.增加一个工作组参与装卸能使装卸速度提高一倍。3.飞机到达机场后直接进行装卸，不考虑维修，加油等时间。三、符号说明1t第一和第二架飞机到达的时间差；11()ft第二架飞机的等待时间的密度函数；2t第二和第三架飞机到达的时间差；212(,)ftt第三架飞机的等待时间的密度函数；11()gt第二架飞机等待时间；212(,)gtt第三架飞机等待时间；C总费用；1C工人的装卸费用；2C飞机的等待费用；t机场无飞机等待的时刻，[5,20]t；i当天未到飞机数，1,2,3i；Q装卸台的剩余容量，以每小时向飞机搬运的货物量为单位，0,4.5Q；(,,)AtQi使用一个工作组事件；3(,)Qit34v214415000()(900012000)22xxFs(,,)BtQi使用两个工作组事件；(,,)APtQi使用一个工作组的概率；(,,)BPtQi使用两个工作组的概率；从一个工作组转为用两个工作组的时刻，此时还有i架飞机未到，装卸台还有Q单位货物未装满；v工人给装卸台装货的速度，CP当天未到的i架飞机均在43tQ后到达的概率；DP当天未到的飞机中至少有一架在23()32tQ时刻之前到达的概率；x当天第一架飞机到达时刻；y当天第一架飞机到达时刻；z当天第一架飞机到达时刻；'z前一天第三架飞机到达时刻；四、问题求解4.1模型一建立与求解4.1.1模型一建立（1）飞机装卸规则（方案）①每天五点装卸台满货，每天独立；②时间是连续的；③当还在对前一架飞机进行装货时，后一架飞机已经到达，启用第二个工作组；证明如下：设在a机装机过程中b机到达，等待a机飞走的时间为1s，此时装卸台上的货物量为x（x用一个工作组一小时装飞机工作量为单位，0,2x）。则a机飞走后，用一个工作组装装卸台产生的装卸费和等待费用为：1115000(4)9000(4)Fsxx，1-（1）用两个工作组装装卸台产生的装卸费和等待费用为：1-（2）两式相减可得：21600024000FFx，1-（3）在0,2x条件下，必有21FF，即用两个工作组总费用更小。④前一架飞机装满货离开后，装卸台所剩的货物已经不足装满一架飞机，，后一架飞机已经到达，启用第二个工作组。（2）模型建立4设三架飞机到达的时间分别为,,xyz，则第一和第二架飞机到达的时间差为：1tyx，1-（4）第二三架飞机达到的时间差为：2tzy，1-（5）设11()gt为第二架飞机等待时间，212(,)gtt为第三架飞机等待时间，12[0,15]tt，，且满足在0,15间的独立的均匀分布。则第二架飞机的等待时间的密度函数为：1111,[0,15]()150,tft，1-（6）其中1t为第一和第二架飞机到达的时间差，11()ft为第二架飞机的等待时间的密度函数。第三架飞机的等待时间的密度函数为：12122121,,0,15,15(,)112.50,ttttftt，1-（7）其中2t为第二和第三架飞机到达的时间差，212(,)ftt为第三架飞机的等待时间的密度函数。则可计算第二架飞机等待时间，现取其期望得：1511111110[()]()()Egtgtftdt，1-（8）其中11()gt为第二架飞机等待时间，11()ft为第二架飞机的等待时间的密度函数。同理第三架飞机等待时间的期望为：15152122122121200[(,)](,)(,)Egttfttgttdtdt，1-（9）其中212(,)gtt为第三架飞机等待时间，212(,)ftt为第三架飞机的等待时间的密度函数。由于假设每天五点装卸台初始量为满，因此第一架飞机的等待时间必定为0。总等待时间：2212111()[(,)][()]iiTEgEgttEgt，1-（10）54.1.2模型求解（1）求解等待时间和费用现需求出第二架飞机等待时间11()gt以及第三架飞机等待时间212(,)gtt的分布函数和期望，用MATLAB编程求解，算法如下，程序见附录1：Step1：运用matlab中int函数求积分，求出第二架飞机等待时间的期望值；Step2：将各值赋给a，输出矩阵a；Step3：运用matlab中int函数求积分，求出第三架飞机等待时间的期望值；Step4：将各值赋给b，输出矩阵b。其分段函数和每段概率表示如下表（表1）：表1飞机等待时间表条件1第二驾飞机等待的时间11()gt第一架飞机等待时间的期望11[()]Egt条件2第三架飞机的滞期时间212(,)gtt第二架飞机等待时间的期望212[(,)]Egtt103t14t121207tt129tt537512711tt12112tt87512+11tt00135t152t11521211tt121522tt1586751211219tt121924tt1622512219tt00157t00203t121522tt42523t且1212tt12122tt4046751212tt0017t00203t24t815235t252t1622525t006而总的滞期时间为：211129=()=270iiTEg1=15000365=22893611.1CT1-（11）（2）求解工作费用各组的工作时间表达式见下表（表2）：表2工作时间表条件1第二架飞机开始装货前只用第一工作组工作的时间11()ht第二架飞机开始装货前两组工作组工作的时间212(,)htt条件2第二架飞机离开后第三架飞机开始装货前只用第一工作组工作的时间31()ht第二架飞机离开后第三架飞机开始装货前两组工作组工作的时间412(,)htt103t011207tt0212711tt127tt1211()2tt12+11tt40135t13t152t21211tt021211219tt212112tt121924tt12219tt40157t13t0203t0192t23t且1212tt23t12122tt1212tt15t040203t017而工作费用为：211312124129000[()()](900012000)[(,)(,)]CEhthtEhtthtt1-（12）利用MATLAB编程，算法如下，程序见附录2Step1:分别用matlab中int函数求积分求出一个装卸工作组工作时间，两个装卸工作组工作时间；Step2:分别求和再乘以各自工作组的工作费用求得一天费用总和。得：2143331.111C1-（13）综上求得1223036942.2CCC机场工作方案为：①当还在对前一架飞机进行装货时，后一架飞机已经到达，启用第二个工作组；②前一架飞机装满货物离开后，装卸台所剩的货物已经不足装满架飞机，而在继续向装卸台中装货时，后一架飞机已经到达，启用第二个工作组。4.2模型二建立4.1.1模型一局限上述模型一有以下局限：（1）每天早上5点装卸台已满的假设不合理；（2）没有考虑第一天的飞机装卸工作延迟到第二天，对第二天工作的影响；（3）飞机到达后开始转为用第二个工作组并不能保证这样能使装卸费用和飞机等待费用最小；故在模型一的基础上优化建立模型二，找出由一个工作组转为两个工作组时刻。4.1.2模型二建立思路模型目标是设计机场工作方案使得飞机装卸费用和等待费用最小。为保证费用最小，需找出由一个工作组转为两个工作组的时刻。因飞机的到达时间机场工作人员不可预测，不能将其作为安排工作的条件，故选用装卸台剩余容量和每天飞机未到架数作为自变量。对此建立转换时刻和这两个变量的函数关系，列出费用表达式。用计算机模拟找出费用最小的方案，即为最佳方案。4.1.3模型二（1）目标函数目标是使得总花费最小。总花费分为飞机等待费用和装卸费用，故有：17t235t23t252t25t20812minCCC，2-（1）其中C表示总费用，1C表示工人的钱装卸费用，2C表示飞机的等待费用。（2）飞机装卸规则①对任意一架飞机，在其装机过程中有其余飞机到达，在该机飞走后，用两个工作组装装卸台。②同时有两架或三架飞机时，先到先装，装满才装下一架。③在时刻t，[5,20]t，机场无飞机等待，装卸台需要Q单位（以每小时向飞机搬运的货物量为单位，0,4.5Q）货物才能装满，当天还有i架飞机还未到达，他们到达的时刻相互独立地服从[,20]t的均匀分布。则存在时刻(,)Qit，方案要求在(,)Qitt时用一组工人，(,)Qitt时用两组工人。证明如下：设用一个工作组为事件(,,)AtQi，用两个工作组为事件(,,)BtQi，(,,)APtQi表示用一个工作组的概率，(,,)BPtQi表示用两个工作组的概率。无飞机在机场等待且装卸台不满时，有：(,,)(,,)1ABPtQiPtQi，2-（2）其中t表示机场无飞机等待的时刻，Q表示装卸台的剩余容量（以每小时向飞机搬运的货物量为单位，0,4.5Q），(,,)APtQi表示用一个工作组的概率，(,,)BPtQi表示用两个工作组的概率。定义存在时刻(,)Qit，使得：(,)(,)1(