经济预测与决策第五章回归分析预测法

第5章回归分析预测法5.1回归分析法概述5.2一元线性回归预测法5.2.1一元线性回归预测法原理5.2.2Excel在一元线性回归预测法的应用5.3多元线性回归预测法5.3.1多元线性回归预测法原理5.3.2Excel在多元线性回归预测法的应用5.4非线性回归预测法5.4.1常见的非线性回归模型5.4.2非线性回归模型求解的基本思路5.4.3应用举例5.5思考与练习本章学习目标5.1回归分析法概述所谓回归分析法是指在掌握大量实验和观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归模型的一种预测方法。回归分析预测法主要包含以下五个步骤：（１）确定影响预测目标变化的主要因素（２）选择合理的预测模型，确定模型参数（３）统计假设检验（4）应用模型进行实际预测（5）检验预测结果的可靠性5.2一元线性回归预测法5.2.1一元线性回归预测法原理5.2.2Excel在一元线性回归预测法的应用5.2.1一元线性回归预测法原理在进行预测时，若仅考虑一个影响预测目标的因素，且因变量与自变量之间的关系可用一条直线近似表示，则可用一元线性回归预测法进行预测。利用一元线性回归预测法进行预测的基本过程如图5-1所示。1．概述2．预测模型求解一元线性回归预测模型为：iiyabxixiy式中，是影响因素，是自变量(也称解释变量)；是预测值，是因变量(也称被解释变量)；利用最小二乘法来确定a和b两个常数。【实例5-1】已知A产品2008年1～10月销售量与利润数据，详见表5-1。试建立它们之间的一元线性回归模型。【解】首先建立计算表，详见表5-2。其次，基于计算表5-2来计算系数a和b。3．相关分析相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。研究两个变量间线性关系的程度用相关系数r来描述。222iiiiiiyyyyyyyy评价两个变量之间线性相关关系强弱的另一个指标是相关系数。相关系数r有两种定义：正相关：如果x，y变化的方向一致，如身高与体重的关系，r0；一般地，•|r|0.95存在显著性相关；•|r|≥0.8高度相关；•0.5≤|r|0.8中度相关；•0.3≤|r|0.5低度相关；•|r|0.3关系极弱，认为不相关负相关：如果x，y变化的方向相反，如吸烟与肺功能的关系，r0；无线性相关：r=0。4．模型检验（１）经济意义检验模型中的参数符号有其特定的经济含义，通过实际经济现象就可以看出模型是否与实际相符。（２）t检验t检验就是用t统计量对回归系数b进行检验，其目的是检验变量x与变量y之间是否确实有关系，即x是否影响y。t统计量的计算公式如下：t检验的基本过程为：首先，通过公式计算t统计量其次，选择显著水平最后，进行判断（3）F检验所谓F检验就是通过构造F统计量22RSSF=ESS/21/2RnRn判断模型是否成立。F近似等于可解释变差与未解释变差之比，该比值越大越好。可以证明，0:0Hb成立时，~1,2FFnF检验步骤为：首先，计算F值其次，根据给定的检验水平，查F分布表，求临界值1,2Fn通过了检验后，即可进行预测。5．预测5.2.2Excel在一元线性回归预测法的应用下面仍以【实例5-1】为例说明如何使用excel求解一元线性回归问题。在excel中利用函数linest可以返回线性回归分析有关结果值，利用FINV和TINV函数分别返回F检验标准值和t检验标准值。假定线性回归模型形式为：y=m1x1+m2x2+...+blinest函数的使用格式为：linest(value_y,value_x,const,stats)其中，value_y为y值（因变量）所在行或列；value_x为x值（自变量）所在行或列；const为一逻辑值，用于指定是否将常量b强制设为0。如果const为TRUE或省略，b将按正常计算；如果const为FALSE，b将被设为0，并同时调整m使y=mx。Stats为一逻辑值，指定是否返回附加回归统计值。如果stats为FALSE或省略，linest函数只返回系数m和常量b；如果stats为TRUE，则linest函数返回附加回归统计值，这时返回的数组为：其中（1）在B2:B11输入自变量（销售额）数据，C2:C11输入因变量（利润）数据。（2）在B14:C18输入数组公式{=linest(c2:c11,b2:b11,,TRUE)}。输入方法为：选择区域B14:C18，按F2，输入“=linest(c2:c11,b2:b11,,TRUE)”（输入时不输双引号），然后按ctrl+shift+Enter组合键。B14:C18用于存储数组公式计算得到的结果，对应单元格计算结果的含义详见表5-6。（3）单元格b20输入置信水平值α。（4）单元格b22输入公式“=a14/a15”计算t值，单元格c22输入公式“=TINV(b20,b17)”返回置信水平值α，自由度为n-2的标准t值；（5）单元格b23输入公式“=a17”等于a17单元格的F值，单元格c23输入公式“=FINV(b20,1,b17)”返回置信水平值α，自由度为(1,n-2)的标准t值；（6）在单元格b26预测时自变量值，在单元格b26输入预测公式“=a4+b14*b26”。5.3多元线性回归预测法5.3.1多元线性回归预测法原理5.3.2Excel在多元线性回归预测法的应用5.3.1多元线性回归预测法原理1．概述在进行预测时，若预测目标的因素不止一个时，则要使用多元线性回归预测法进行预测。利用多元线性回归预测法进行预测的基本过程如图5-2所示。2．预测模型求解【实例5-2】已知B产品的需求量与个人收入及价格的关系，详见表5-7。试建立模型来预测收入为1500元和价格为8元时产品B的需求量。3．模型检验（１）经济意义检验模型中的参数符号有其特定的经济含义，通过实际经济现象就可以看出模型是否与实际相符。（2）R检验（3）F检验所谓F检验就是通过构造F统计量其次，根据给定的检验水平，查F分布表，求临界值1,2Fn首先，计算F值（4）t检验以上R检验和t检验都是将所有自变量作为一个整体来检验它们与y的相关程度和解释能力，并没有说明每个自变量对y的影响。t检验可以判别每个自变量对y的影响。回归模型是一种统计模型，是从观测数据中得到的。t检验就是用t统计量对回归系数b进行检验，其目的是检验变量x与变量y之间是否确实有关系，x是否影响y。t统计量的计算公式如下：t检验的基本步骤：首先，通过公式计算t统计量最后，进行判断4．多重共性分析在预测分析中，若两个解释变量之间存在者较强的相关，则认为回归分析中存在多重共线性。多重共线性可能引起以下后果：（1）参数估计的精度较低；（2）回归参数的估计值对样本容量非常敏感，不稳定；（3）不能正确判断各解释变量对y的影响是否显著。通过计算自变量之间的相关系数矩阵和经验直觉，来判断分析自变量之间是否存在多重共线性。消除多重共线性的常用方法：方法1：消减变量方法2：改变变量的定义形式5．预测通过了检验后，即可进行预测。5.3.2Excel在多元线性回归预测法的应用下面仍以【实例5-2】为例说明如何使用excel求解多元线性回归问题。【解】在Excel中建立计算模本，详见表5-8。其中（1）在B2:B11输入因变量（需求量）数据，C2:C11输入自变量（收入）数据，，D2:D11输入自变量（价格）数据。（2）在B14:C18输入数组公式{=linest(b2:b11,c2:d11,,TRUE)}。输入方法为：选择区域B14:D18，按F2，输入=linest(b2:b11,c2:d11,,TRUE)，然后按ctrl+shift+Enter组合键。B14:C18用于存储数组公式计算得到的结果，对应单元格计算结果的含义详见表5-9（3）在单元格b20输入公式“=b14/b15”，将b20中公式复制到c20和d20，分别计算系数b2，b1和b0所对应的t值，单元格e20输入公式“=TINV(0.05,c17)”返回置信水平值为0.05，自由度为n-2的标准t值；（4）在单元格b23输入格式“=b16”等于b16单元格的R2值，在单元格c23输入格式“=sqrt(b23)”计算复相关系数r。（5）在单元格b25输入公式“=b17”等于b17单元格的F值，单元格c25输入公式“=FINV(0.05,9-c17,c17)”返回置信水平值为0.05，自由度为(2,7)的标准t值；（6）在单元格b26预测时自变量值，在单元格b26输入预测公式“=b14*b27+c14*c27+d14”（即y=b0+b1x1+b2x2）。根据计算模板得到：5.4非线性回归预测法5.4.1常见的非线性回归模型5.4.2非线性回归模型求解的基本思路5.4.3应用举例5.4.1常见的非线性回归模型（1）二次曲线（2）指数曲线（3）修正曲线（4）幂函数（5）柯布·道格拉斯生产函数5.4.2非线性回归模型求解的基本思路对非线性模型，求解的基本思路是：（1）利用变量替代将非线性模型转化为线性模型；（2）利用线性回归方法求解；（3）反向转换得到非线性模型的系数；（4）进行预测。5.4.3应用举例【实例5-3】已知C产品1994年至2008年产量及当年产品成本，详见表5-11。试运用非线性回归方法对该产品2009年成本进行预测。【解】利用散点图，可以大致判断产品生产成本随着产量的增加、管理水平的增加呈逐步下降趋势。又在无重大技术改革、原材料基本不变的情况下，最低生产成本不低于280元/件。故选取修正指数曲线其中（1）在B2:B16输入产量（因变量）数据，C2:C16成本数据（自变量）数据。（2）在D2单元格数据转换格式“=LN(B2-280)”，然后将单元格D2中公式复制到区域D3:D16；（3）在B19:C23输入数组公式{=linest(D2:D16,C2:C16,,TRUE)}。输入方法为：选择区域B19:C23，按F2，输入=linest(D2:D16,C2:C16,,TRUE)，然后按ctrl+shift+Enter组合键。B14:C18用于存储数组公式计算得到的结果，对应单元格计算结果的含义详见表5-13。（4）单元格b25和c25分别输入公式“=b19/b20”和“=c19/c20”计算t值，单元格d25输入公式“=TINV(0.05,b17)”返回置信水平值为0.05时自由度为n-2的标准t值；（5）单元格b29输入公式“=b22”等于b22单元格的F值，单元格c29输入公式“=FINV(0.05,1,b17)”返回置信水平值为0.05，自由度为(1,n-2)的标准F值；（6）在单元格b31预测时自变量值，在单元格b32输入预测公式“=280+EXP($C19)*EXP($B19*B31)”。根据计算模板得到：