【湖南师大内部资料】高二数学选修2-1课件：函数的单调性与导数3(新人教A版)

函数的单调性与导数第3课时函数的极值与导数下图为函数y＝f(x)的图象：BAOxyab点A处的函数值比其附近点的函数值都小；点B处的函数值比其附近点的函数值都大.（1）在点A，B处的函数值与其附近的点的函数值分别有什么关系？函数极值的有关概念BAOxyab（2）f(x)在点x=a，x=b处的导数值各为多少？()()0fafbBAOxyab（3）在点x=a，x=b左右两侧的点的导数值如何？在x=a附近左侧f′(x)0，右侧f′(x)0;在x=b附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.图中点A、B分别叫做函数y＝f(x)的极小值点和极大值点，并统称为极值点.BAOxyabA处的函数值f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值，点B处的函数值f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值，极大值和极小值统称为极值.函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有的点，都有（1）f(x)＞f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的极小值；（2）f(x)＜f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的极大值；BAOxyx0x0练习：1、下列函数图象中有多少个极值点？其中有几个极大点？Oxy5个极值点，其中有3个极大值点.2、函数的极大值都比极小值大吗？不一定OxyAB函数极值的判定原理1：下图中，在极大值点A左右两侧函数的单调性分别如何？在x0附近，当x＜x0，x＞x0，x＝x0时，f′(x0)的取值如何变化？Ay＝f(x)Oxyx0左侧递增，右侧递减.2：从导数的角度分析，一般地，对于函数f(x)，在什么条件下f(x0)是极大值？Ay＝f(x)Oxyx0在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极大值.3：下图中，在极小点值点B左右两侧函数的单调性分别如何？在x0附近，当x＜x0，x＞x0，x＝x0时，f′(x0)的取值如何变化？By＝f(x)Oxyx0左侧递减，右侧递增.4：从导数的角度分析，一般地，对于函数f(x)，在什么条件下f(x0)是极小值？By＝f(x)Oxyx0在x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极小值.5：函数f(x)在极值点的导数一定为0吗？导数为0的点一定是极值点吗？可导函数在极值点的导数一定为0，导数为0的点不一定是极值点（可疑点）.练习:判断正误：1.可导函数的极值点的导数值必是0；2.导数为0的点必是极值点；3.同一函数的极大值必大于极小值；4.极值点左右的单调性必发生改变.√××√例1.求下列函数的极值.32321(1)()44;3(2)()ln(21)2(3)()2(1)fxxxfxxxxfxx归纳方法用“导数法”求函数极值的步骤：)(xf1.求函数的定义域；)(xf2.求出函数的导数并分解因式；3.列表（定义域、导数符号、函数单调性与极值判断）例2、已知函数在x=1处取得极值2，求f(x)的所有极值.32()fxxaxbx例3、已知函数有极大值和极小值，求实数a的取值范围.32()(6)1fxxaxax例4、已知函数的图象与函数的图象相切，记.(1)求实数b的值及函数F(x)的极值;(2)若关于x的方程F(x)=k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围.2()32gxxx()fxxb()()()Fxfxgx小结作业1.函数的极值刻画的是函数的局部性质，它只能反映函数在某个局部的最大值和最小值情况，且极大值与极小值之间没有必然的大小关系.2.若函数的图象是一条连续不断的曲线，且有多个极值点，则函数的极值点是交替出现的（如正弦曲线和余弦曲线）.3.求函数极值的基本步骤：求导数f′(x)→解方程f′(x)＝0→判断在根附近左右两侧f′(x)的符号→作出结论.作业：P32—5.《学海》第11课时