规划实质上属于决策范畴

规划实质上属于决策范畴，主要研究在一定约束条件下，如何使目标达到最优.但是，普通的线性规划、非线性规划和0-1规划都存在如下的问题：（1）均是静态规划，不能反映约束条件随时间变化的情况；（2）当规划模型或约束条件中出现灰数时，处理不便；（3）从理论上讲定义在凸集上的凸函数是有解的，而实际计算中往往因技巧、技术问题使求解过程难以进行下去.灰色系统的思想和建模方法，可使上述问题得到一定程度的解决.本章主要研究灰参数线性规划、灰色0-1规划、灰色多目标规划和灰色非线性规划.10.1灰参数线性规划定义10.1.1设均为常数，为未知变量，称(10.1.1)(10.1.2)为线性规划问题的一般模型，其中式(10.1.1)称为目标函数，式(10.1.2)称为约束条件。定义10.1.2称为线性规划问题的标准形式,,(1,2,,;1,2,,)ijijabcimjn(1,2,,)jxjn1122max(min)nnScxcxcx1111221121122222112212(,)(,)(,)0,0,0nnnnmmmnnmnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbxxxmaxSCX.0AXbstX定义10.1.3设，其中,则称为灰参数线性规划(LPGP)问题，并称为灰色价格向量，为灰色消耗矩阵，为灰色资源约束向量，X为决策向量.实际上，X也是一个灰向量.12,,,TnXxxx12()(),(),,()nCccc12()(),(),,()Tmbbbb111212122212()()()()()()()()()()nnmmmnaaaaaaaaa()[,],0,1,2,,;jjjjccccjn()[,],0,1,2,,;iiiibbbbim()[,],01,2,,1,2,,.ijijijijaaaaimjn；；max()SCX()().0AXbstX()C()A()b定义10.1.4设令灰参数的白化值分别为同时分别用，，表示价格白化向量、资源约束白化向量和消耗白化矩阵.则称为LPGP的定位规划，称为价格定位系数，为资源约束定位系数，为消耗定位系数.,,[0,1],1,2,,;1,2,,.jiijimjn()(1);1,2,,jjjjjcccjn()(1);1,2,,iiiiibbbim()(1);1,2,,;1,2,,ijijijijijaaaimjn()C()b()Amax()SCX()().0AXbstX(1,2,,)jjn(1,2,,)iim(1,2,,;1,2,,)ijimjn10.2灰色预测型线性规划定义10.2.1对于定义10.1.3中的灰色线性规划问题，将其中的，先行白化，设并根据的历史资料建立GM(1,1)模型，求出其在s+k时的预值.记称为灰色预测型线性规划问题.()C()A12(,,,)nCccc111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa()(1,2,,)ibim((1),(2),,())iiibbbsˆ()1,2,,ibskim；12ˆˆˆˆ((),(),,())mbbskbskbskmaxSCXˆ.0AXbstX10.3灰色漂移型线性规划一漂移定理灰色漂移型线性规划也称为灰参数线性规划，其实，一个灰参数线性规划问题是由有限个或无限个一般线性规划问题构成的集合.在以下的证明中，我们假定式(10.1.5)中的白化值和白化矩阵保持其非负性.定理10.3.1对于LPGP的定位规划，当价格定位系数满足时，有;jj1,2,jn，max((,,)1,2,,;1,2,,)jiijSfimjn((,,)1,2,,;1,2,,)maxjiijfimjnSii定理10.3.2对于LPGP的定位规划，当资源约束定位系数满足，时，有定理10.3.3对于LPGP的定位规划，当消耗定位系数满足，时，有定义10.3.1设对和有1,2,,immax((,,)1,2,,;1,2,,)jiijSfimjn((,,)1,2,,;1,2,,)jiijfimjnmaxSijij1,2,,1,2,,imjn；max((,,)1,2,,;1,2,,)jiijSfimjn((,,)1,2,,;1,2,,)jiijfimjnmaxS1,2,,im1,2,,jn,j,jij则称相应的定位规划为定位规划，记为LP.其最优值称为定位最优值，记为.定理10.3.4对于LPGP的定位规划，当1、时，2、时，3、时，反映了n种产品的综合价格水平，反映了m种资源的总的供应状况，则是生产过程中工艺技术水平、劳动力素质和管理水平的集中体现.(,,)(,,)max(,,)S(,,)(,,)LP0012,,001002max(,,)max(,,)SS1200,,100200max(,,)max(,,)SS0120,,010020max(,,)max(,,)SS二、LPGP的满意解定义10.3.2当时，对应的定位规划LP(1,1,0)称为LPGP的理想模型，其最优值记为.定义10.3.3当时，对应的定位规划LP(0,0,1)称为LPGP的临界模型，其最优值记为定义10.3.4当时，对应的定位规划称为定位规划，记为LP()，其最优值记为.特别地，当=0.5时，对应的定位规划LP(0.5)称为均值白化规划，通常情况下，对灰参数线性规划而言，均值白化规划最具代表性.定理10.3.5对任意的∈[0,1]时，有1、2、1,0maxS0,1maxSmax()S,,maxSmax(,,)SmaxSmaxSmax()SmaxS定义10.3.5对于给定的∈[0,1]，称+（10.3.1）为LP()的满意度.命题10.3.1对于给定的∈[0,1]有定义10.3.6给定灰靶，若∈D，则称与之对应的定位最优解为LPGP的满意解.,,1max(,,)12max(,,)SS1max(,,)2maxSS,,,,0(,,)10[,1]D(,,)10.4灰色线性规划的准优解在线性规划问题的求解过程中，常常遇到得不出最优解的情形，此时可以考虑采用其他方法去寻求近似的最优解。本节主要研究决策变量交替寻优法，其步骤如下：第一步：确定灰色线性规划的定位规划第二步：按照常规的线性规划方法求解，直到计算不能继续进行设最后一个可行解为max()SCX()().0AXbstXmax()SCX()().0AXbstX第三步：以为起点对固定的，优化x1，设为固定时的最优解，然后以为起点，对x2优化，设为固定时的最优解，再以为起点对x3进行优化,如此等等,直到求出第四步：以为新的起点,重复第三步中的探索，得……直到或与充分接近，且对应的目标函数值充分接近为止。(1)(1)(0)(0)12(,,,)nXxxx(0)(0)(0)(0)12(,,,)nXxxx(0)X(0)(0)(0)23,,,nxxx(0)(0)(0)23,,,nxxx(1)X(2)(1)(1)(0)(0)123(,,,)nXxxxx(1)(0)(0)13,,,nxxx(2)X()(1)(1)(1)12(,,,)nnXxxx()nX(2)(2)(2)(2)12(,,,)nnXxxx(3)(3)(3)(3)12(,,,)nnXxxx()()()()12(,,,)knkkknXxxx()((1))knknXX()knX((1))knX定义10.4.1称交替寻优法所得的最终解为灰色线性规划的准优解，与之相应的目标函数值称为准优值。()()()()12(,,,)knkkknXxxx10.5灰色0-1规划0-1规划中最典型的是分配问题.本节着重讨论灰色预测型分配问题的求解.定义10.5.1将n项任务分配给m个承担者，约定每个承担者只能完成一项任务，当n=m时，称此类分配问题为平衡分配问题.定义10.5.2在平衡分配问题中，令设为第j个承担者完成第i项任务所需费用，i,j=1,2,…,n，则称1,0,ijijxij第项任务分配给第个承担者第项任务未分配给第个承担者ijc11minnnijijijScx为分配问题的数学模型.其中约束条件表示一项任务仅指派一位承担者，而约束条件则表示每个承担者只完成一项任务.定义10.5.3称方阵为效率矩阵11(1,2,,)nijixjn111;1,2,,1;1,2,,01,1,2,,nijjnijiijxinxjnxijn取或；11(1,2,,)nijjxin111212122212()nnijnnnnccccccCcccc定理10.5.1对效率矩阵C之各行或各列的元素分别加上或减去一个常数，新的效率矩阵解得的最优分配与从C解得的最优分配相同.定义10.5.4当效率矩阵中的元素为效率序列的灰色预测值或灰色发展系数时，称相应的0-1规划为灰色0-1规划.灰色0-1规划的求解步骤如下：第一步：给出效益时间序列第二步：建立的GM(1,1)模型,设时间响应式为第三步：写出效益矩阵C=(cij)(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())ijijijijuuuuh；,1,2,,ijn(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())ijijijijuuuuh(1)(0)(1)(1)ˆ(1)exp()ˆˆˆ(1)(1)()ijijijijijijijukakwukukuk，,1,2,,ijn可令，也可令第四步：求第五步：令，于是灰色0-1规划模型为第六步：变换效率矩阵(0)ˆ()ijijcuhs,1,2,,ijijcaijn；011max{}oijijinjncc00(,1,2,,)ijijijcccijn；11minnnijijijScx111;1,2,,.1;1,2,,01,1,2,,nijjnijiijxinstxjnxijn取或；111212122212()nnijnnnnccccccCcccc在效率矩阵之各行各列中分别减去其最小元，使得每行每列至少有一个零元素.若不同行、不同列的零元素个数等于效率矩阵的阶数n，则停止变换；否则反复进行上述变换，直到不同行、不同列的零元素个数等于效率矩阵的阶数n为止.第七步：对不同行、不同列的n个零元素加上“（）”，并称之为独立零，令则即为所求的最优解.C1,0,ijijx第行第列有独立零其它{,1,2,,}ijXxijn10.6灰色多目标规划一般灰色线性规划模型能解决资源合理利用与调配问题，但也有局限性，一是目标较单一；二是求解困难，一定要形成可行解域，才能得到灰色线性规划解.如果目标函数与约束条件有矛盾，不能形成可行解域时，灰色线性规划就显得无能为力了，这就使一些具体问题得不到满意的结果.灰色多目标规划就是针对灰色线性规划存在的问题而发展起来的.灰色多目标规划以灰色